wielomiany symetryczne

[edzia18lesniak]

Bardzo proszę o szczegółowe rozwiązanie zadań:
1.Wykazać że wielomian \(\displaystyle{ (x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4})(x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4})(x_{1} -x_{2} +x_{3}+x_{4})(-x_{1} +x_{2} +x_{3}+x_{4})}\) jest wielomianemsymetrycznym. Wyrazić go przez wielomiany symetryczne podstawowe
2.Wyrazić przez wielomiany symetryczne podstawowe następujące wielomiany symetryczne 3 zmiennych:
a)\(\displaystyle{ x_{1}^{2} x _{2} + x_{1} x _{2} ^{2}+x_{1}^{2} x _{3} + x_{1} x _{3} ^{2}+x_{2}^{2} x _{3} + x_{2} x _{3} ^{2}}\)
b)\(\displaystyle{ x_{1}^{4}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}-2x_{1}^{2}x_{3}^{2}+x_{2}^{4}-2x_{2}^{2}x_{3}^{2}+x_{3}^{4}}\)
c)\(\displaystyle{ (x_{1}^{2}+x_{2}^{2} )(x_{1}^{2}+x_{3}^{2} )(x_{2}^{2}+x_{3}^{2} )}\)

[bstq]

a co to jest wielomian czterech zmiennych symetryczny?

def. w - symetryczny, jeśli \(\displaystyle{ w(\underline{x})=w(-\underline{x})}\)
czy może
w - symetryczny, jeśli dla dowolnych kilku mamy minusy:
\(\displaystyle{ w\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=w\left((-1)^{k}\cdot x_{1},(-1)^{j}\cdot x_{2},(-1)^{m}\cdot x_{3},(-1)^{n}\cdot x_{4}\right),\text{ gdzie }k,j,m,n-\text{dowolne}}\)
??

[BettyBoo]

edzia18lesniak, na wyrażanie wielomianu symetrycznego przez wielomiany symetryczne podstawowe jest algorytm (a nawet kilka algorytmów w zależności od postaci wielomianu) - czego konkretnie nie umiesz?

bstq, w skrócie wielomian \(\displaystyle{ n}\) zmiennych \(\displaystyle{ f}\) nazywamy symetrycznym, jeśli dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma\in S_n}\) zachodzi

\(\displaystyle{ f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},...,x_{\sigma(n)})=f(x_1,x_2,...,x_n)}\)

tzn. żadna permutacja zmiennych nie zmienia wielomianu.

Pozdrawiam.

[edzia18lesniak]

Dla mnie to jest zupełnie nowy temat. Nie znalazłam na razie nigdzie algorytmów, o których mówisz. Poprostu nie wiem jak to ruszyć. Bardzo proszę o bardzo szczegółowe rozwiązanie przynajmniej 2 przykładów. Może po ich przeanalizowaniu bede dała rade pozostałe zrobić sama

[BettyBoo]

Mówisz, że nie znalazłaś nigdzie algorytmów - a gdzie szukałaś?

Skoro w ogóle nie wiesz jak to ruszyć, to najwyraźniej nie posiadasz potrzebnej podstawowej wiedzy z tego zakresu - a wobec tego ja nie podejmuję się robić na ten temat wykładu.

Na początek odsyłam więc do książki "Algebra abstrakcyjna w zadaniach" Rutkowskiego. Tam są rozwiązane przykłady (przy okazji z opisanych tam metod wynikają wspomniane przeze mnie algorytmy) oraz cała potrzebna teoria. Możesz też zajrzeć np do pozycji "Elementy algebry wyższej" Mostowskiego i Starka. W kilku innych z zakresu wyższej algebry też się pewnie coś znajdzie.

Jeśli po przeczytaniu i przećwiczeniu opisanych tam sposobów mimo wszystko będziesz miała problemy z powyższymi zadaniami - pisz gdzie się zacięłaś, to pomogę Ci ruszyć.

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

1.

\(\displaystyle{ (x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4})(x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4})(x_{1} -x_{2} +x_{3}+x_{4})(-x_{1} +x_{2} +x_{3}+x_{4})}\)

\(\displaystyle{ \left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}-2x_{4} \right)\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}-2x_{3} \right)\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}-2x_{2} \right)\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}-2x_{1} \right)\\
\left( p_{1}-2x_{4}\right)\left( p_{1}-2x_{3}\right)\left( p_{1}-2x_{2}\right)\left( p_{1}-2x_{1}\right) \\
p_{1}^{4}-2p_{1}p_{1}^{3}+4p_{2}p_{1}^2-8p_{3}p_{1}+16p_{4}\\
=-p_{1}^{4}+4p_{1}^2p_{2}-8p_{1}p_{3}+16p_{4}}\)

2.
a)

\(\displaystyle{ x_{1}^{2} x _{2} + x_{1} x _{2} ^{2}+x_{1}^{2} x _{3} + x_{1} x _{3} ^{2}+x_{2}^{2} x _{3} + x_{2} x _{3} ^{2}}\)

\(\displaystyle{ =s_{2}s_{1}-s_{3}\\
s_{1}=p_{1}\\
s_{2}=\det{ \begin{bmatrix} p_{1}&1 \\ 2p_{2}&p_{1} \end{bmatrix} }\\
s_{3}=\det{ \begin{bmatrix} p_{1}&1&0 \\ 2p_{2}&p_{1}&1\\3p_{3}&p_{2}&p_{1} \end{bmatrix} }\\}\)

b)

\(\displaystyle{ x_{1}^{4}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}-2x_{1}^{2}x_{3}^{2}+x_{2}^{4}-2x_{2}^{2}x_{3}^{2}+x_{3}^{4}\\
=s_{4}-\left( s_{2}^2-s_{4}\right)=2s_{4}-s_{2}^2\\
s_{2}= \det{ \begin{bmatrix} p_{1}&1 \\ 2p_{2}&p_{1} \end{bmatrix} }\\
s_{4}=\det{\begin{bmatrix} p_{1}&1&0&0 \\ 2p_{2}&p_{1}&1&0\\3p_{3}&p_{2}&p_{1}&1\\0&p_{3}&p_{2}&p_{1} \end{bmatrix}}}\)

c)

\(\displaystyle{ (x_{1}^{2}+x_{2}^{2} )(x_{1}^{2}+x_{3}^{2} )(x_{2}^{2}+x_{3}^{2} )\\
\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^2-x_{3}^2 \right)\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^2-x_{2}^2 \right) \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^2-x_{1}^2 \right)
=s_{2}^{3}-s_{2} s_{2}^2+\left(x_{1}^2x_{2}^{2}+x_{1}^2x_{3}^{2}+x_{2}^2x_{3}^{2}\right)s_{2}-x_{1}^2x_{2}^2x_{3}^2\\
= \frac{1}{2}s_{2}\left(s_{2}^2-s_{4}\right)-p_{3}^2\\
= \frac{1}{2}s_{2}^3- \frac{1}{2} s_{4}\right)-p_{3}^2\\
s_{2}= \det{ \begin{bmatrix} p_{1}&1 \\ 2p_{2}&p_{1} \end{bmatrix} }\\
s_{4}=\det{\begin{bmatrix} p_{1}&1&0&0 \\ 2p_{2}&p_{1}&1&0\\3p_{3}&p_{2}&p_{1}&1\\0&p_{3}&p_{2}&p_{1} \end{bmatrix}}}\)