udowodnić o sumie współczynników wielomianu
- kata189
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 28 kwie 2009, o 18:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: TL
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 7 razy
udowodnić o sumie współczynników wielomianu
Wykaż, że suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=(9x ^{7} + 8x ^{4} - 5) ^{n} - (x ^{9} -4x ^{6} +8) ^{n}}\) jest podzielna przez 7 dla \(\displaystyle{ n \in N}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
udowodnić o sumie współczynników wielomianu
Wskazówka:
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x_{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}\), to
\(\displaystyle{ W(1)=a_{n}1^{n}+a_{n-1}1^{n-1}+...+a_{1} \cdot 1+a_{0}=a_{n}+a_{n-1}+..+a_{0}}\) jest sumą współczynników wielomianu W.
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x_{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}\), to
\(\displaystyle{ W(1)=a_{n}1^{n}+a_{n-1}1^{n-1}+...+a_{1} \cdot 1+a_{0}=a_{n}+a_{n-1}+..+a_{0}}\) jest sumą współczynników wielomianu W.
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
udowodnić o sumie współczynników wielomianu
Metodą indukcji matematycznej:
\(\displaystyle{ 12^{n}-5^{n}}\)
Dla n=1:
\(\displaystyle{ 7|7}\)
Zakladmy, że dla n=k także jest podzielna:
\(\displaystyle{ 7|12^{k}-5^{k}}\)
Teraz wykażemy, że jest podzielna przez 7 dla n=k+1 (dla każdej zwiększonej o 1):
\(\displaystyle{ 12^{k+1}-5^{k+1}=12^{k}\cdot 12-5^{k}\cdot 5=12^{k}\cdot (5+7)-5^{k}\cdot 5=12^{k}\cdot 5+12^{k}\cdot 7-5^{k}\cdot 5=5(12^{k}-5^{k})+12^{k}\cdot 7}\)
Pierwszy czynnik jest podzielny przez 7 z założenia, drugi z oczywistych względów.
\(\displaystyle{ 12^{n}-5^{n}}\)
Dla n=1:
\(\displaystyle{ 7|7}\)
Zakladmy, że dla n=k także jest podzielna:
\(\displaystyle{ 7|12^{k}-5^{k}}\)
Teraz wykażemy, że jest podzielna przez 7 dla n=k+1 (dla każdej zwiększonej o 1):
\(\displaystyle{ 12^{k+1}-5^{k+1}=12^{k}\cdot 12-5^{k}\cdot 5=12^{k}\cdot (5+7)-5^{k}\cdot 5=12^{k}\cdot 5+12^{k}\cdot 7-5^{k}\cdot 5=5(12^{k}-5^{k})+12^{k}\cdot 7}\)
Pierwszy czynnik jest podzielny przez 7 z założenia, drugi z oczywistych względów.
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
udowodnić o sumie współczynników wielomianu
A bez użycia indukcji: zastosuj po prostu wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+b^{n-1})}\)