udowodnić o sumie współczynników wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
kata189
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 28 kwie 2009, o 18:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: TL
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 7 razy

udowodnić o sumie współczynników wielomianu

Post autor: kata189 »

Wykaż, że suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=(9x ^{7} + 8x ^{4} - 5) ^{n} - (x ^{9} -4x ^{6} +8) ^{n}}\) jest podzielna przez 7 dla \(\displaystyle{ n \in N}\)
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

udowodnić o sumie współczynników wielomianu

Post autor: Crizz »

Wskazówka:

Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x_{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}\), to
\(\displaystyle{ W(1)=a_{n}1^{n}+a_{n-1}1^{n-1}+...+a_{1} \cdot 1+a_{0}=a_{n}+a_{n-1}+..+a_{0}}\) jest sumą współczynników wielomianu W.
Awatar użytkownika
kata189
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 28 kwie 2009, o 18:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: TL
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 7 razy

udowodnić o sumie współczynników wielomianu

Post autor: kata189 »

wiem jedynie, że W(1) to suma współczynników wielomianu, ale nie wiem jak udowodnić z tą podzielnością przez 7 :/
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

udowodnić o sumie współczynników wielomianu

Post autor: tometomek91 »

Metodą indukcji matematycznej:
\(\displaystyle{ 12^{n}-5^{n}}\)
Dla n=1:
\(\displaystyle{ 7|7}\)
Zakladmy, że dla n=k także jest podzielna:
\(\displaystyle{ 7|12^{k}-5^{k}}\)
Teraz wykażemy, że jest podzielna przez 7 dla n=k+1 (dla każdej zwiększonej o 1):
\(\displaystyle{ 12^{k+1}-5^{k+1}=12^{k}\cdot 12-5^{k}\cdot 5=12^{k}\cdot (5+7)-5^{k}\cdot 5=12^{k}\cdot 5+12^{k}\cdot 7-5^{k}\cdot 5=5(12^{k}-5^{k})+12^{k}\cdot 7}\)
Pierwszy czynnik jest podzielny przez 7 z założenia, drugi z oczywistych względów.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

udowodnić o sumie współczynników wielomianu

Post autor: Crizz »

A bez użycia indukcji: zastosuj po prostu wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+b^{n-1})}\)
Awatar użytkownika
kata189
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 28 kwie 2009, o 18:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: TL
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 7 razy

udowodnić o sumie współczynników wielomianu

Post autor: kata189 »

dzięki, już wiem jak dalej
Ostatnio zmieniony 29 gru 2009, o 17:48 przez kata189, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Vieshieck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 283
Rejestracja: 19 cze 2007, o 08:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 59 razy

udowodnić o sumie współczynników wielomianu

Post autor: Vieshieck »

Wzór skróconego mnożenia dla dowolnego n. W szkole się o nim raczej nie wspomina
ODPOWIEDZ