wielomian z parametrem

[lorenz]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania . Wielomian \(\displaystyle{ W(x)= (m-4)x^{3} - (m+6)x^{2}-(m-1)x + m+3}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x + 1}\). Dla jakich wartości parametru m wielomian W ma dokładnie dwa pierwiastki?

[piasek101]

\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)[(m-4)x^2-(2m+2)x+m+3]}\)

[tometomek91]

Należy rozważyć dwa przypadki:

1. Kiedy wielomian jest stopnia 2-go, wtedy:
\(\displaystyle{ m=4}\) i \(\displaystyle{ W(x)}\) przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ -10x^{2}-3x+7\\
\Delta>0}\)
Więc dla \(\displaystyle{ m=4}\) wielomian ma dokładnie dwa pierwiastki.

2. Gdy wielomian jest stopnia 3-go:
\(\displaystyle{ m \neq 4}\) i jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x+1}\), więc dzielimy:
\(\displaystyle{ W(x)= (m-4)x^{3} - (m+6)x^{2}-(m-1)x + m+3=(...)=x^{2}(x+1)(m-4)+2x(x+1)-(x+1)(-3-m)=(x+1)[(m-4)x^{2}+2x+3+m]}\)
Teraz należy sprawdzić dla jakich wartości parametru m wyrażenie w kwadratowym nawiasie ma jeden pierwiastek.

Oczywiści można także sprowadzić wielomian do postaci:
\(\displaystyle{ x^{3}+px+q}\), wtedy o ilości pierwiastków decyduje znak wyróżnika:
\(\displaystyle{ \Delta>0 \rightarrow 1 rozw\\
\Delta=0 \rightarrow 2 rozw\\
\Delta<0 \rightarrow 3 rozw}\)

[piasek101]

2. Gdy wielomian jest stopnia 3-go:
\(\displaystyle{ m \neq 4}\) i jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x+1}\), więc dzielimy:
\(\displaystyle{ W(x)= (m-4)x^{3} - (m+6)x^{2}-(m-1)x + m+3=(...)=x^{2}(x+1)(m-4)+2x(x+1)-(x+1)(-3-m)=(x+1)[(m-4)x^{2}+2x+3+m]}\)
Teraz należy sprawdzić dla jakich wartości parametru m wyrażenie w kwadratowym nawiasie ma jeden pierwiastek.

Dostałem (jak widać) inną postać po podzieleniu - to trzeba sprawdzić.

Jednak co do jednego pierwiastka tego kwadratowego - mam wątpliwości (może się okazać podczas pracy, że na wyrost).

Co z przypadkiem gdy jeden pierwiastek kwadratowego okaże się też (-1) ? To raczej nie zajdzie.

Co z przypadkiem gdy kwadratowe będzie miało dwa rozwiązania, a jedno z nich będzie (-1).