Wielomian z parametrem

[pokerstar45]

Robiąc małe powtórzenie z wielomianów, natknąłem się na zadanie którego nie potrafię wykonać.
Pewnie już wiele razy pojawiało się na forum, jednak chciałbym żeby ktoś mi to 'przystępnie' wytłumaczył.

Przykład w zbiorze mam trudniejszy, więc na początek posłużę sie jakimś prostym.

Oblicz wartość parametrów p i q dla których liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3-5x^2+px+q}\)

Dwa sposoby: albo dzielić dwa razy przez (x-3) z tw. Bezout'a.
Albo bawić się z Hornerem, czego nie potrafię.

Skorzystałem z tego pierwszego i nie mogę do końca poradzić sobie z dzieleniem tego wielomianu. Zasadę ogólną znam ale pod koniec nie wiem co mam zrobić gdy wychodzi px+q-6x+q ? (w słupku)

Czy ktoś mógłby podzielić ten wielomian przez dwumian i pokazać to działanie. Nawet pierwsze, z drugim postaram się uporać sam

Pozdrawiam !

[Goter]

Jest jeszcze jeden sposób: zapisz wielomian w postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)^2(x-x_3)}\)
wymnóż i porównaj współczynniki, wyjdzie układ 3 równań z 3 niewiadomymi: \(\displaystyle{ p,q,x_3}\) - nie powinien sprawić problemów

[pokerstar45]

Nie za bardzo obczajam, żeby nie było ze czekam na gotowca.

\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)^2(x-x_{3})}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-6x+9) (x-x_{3})}\)

\(\displaystyle{ W(x)=x^3-x^2x_{3}-6x^2+6xx_{3}+9x-9x_{3}}\)

tak ?

[Goter]

Dokładnie tak. I teraz pogrupuj:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-x^2x_{3}-6x^2+6xx_{3}+9x-9x_{3}=\\
=x^3+x^2(-6-x_3)+x(9+6x_3)-9x_3}\)

I teraz porównując współczynniki otrzymujesz taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -6-x_3 = -5\\9+6x^3=p\\-9x_3=q\end{cases}}\)

[pokerstar45]

No ok, ale teraz co ?

p chyba powinno wyjść 3 a q 9 Tu jakoś mi nie wychodzi...

[Goter]

No rozwiązać układ, najprościej metodą podstawiania.

Z pierwszego równania mamy: \(\displaystyle{ x_3 = -1}\)
Podstawiamy do drugiego:
\(\displaystyle{ 9-6=p\\p=3}\)
I do trzeciego:
\(\displaystyle{ -9*(-1)=q\\q=9}\)

[pokerstar45]

Goter> wkońcu wyszedł mi przykład ze zbioru! Robiłem Twoją metodą, dzięki wielkie za cierpliwość!


BTW> jeżeli skorzystaliśmy z postaci iloczynowej, to w w/w przykładzie mieliśmy wspołczynnik 1 przy najwyższej potędze. Jeżeli byśmy mieli 2 lub 3 to także mamy to zawrzeć w tym iloczynie ? Tylko jak:

odwołuje się do przykładu \(\displaystyle{ W(x)=(x-3)^2(x-x_3)}\)