Dwuelementowy zbiór rozwiązań, parametr.

[pojaszek]

zbiorem rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^3+bx^2+bx+1=0}\) jest dwuelementowy. Znajdz ten zbiór.

Prosiłbym o pomoc.

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ x^3+bx^2+bx+1=(x^3+1)+bx(x+1)=(x+1)(x^2-x+1)+bx(x+1)=(x+1)(x^2+x(b-1)+1)}\) niezależnie od b, liczba -1 jest miejscem zerowym tego wielomianu. jeżeli wielomian ma mieć pierwiastek podwójny (do tego się sprowadza zadanie), to albo \(\displaystyle{ x^2+x(b-1)+1}\) jest pełnym kwadratem (\(\displaystyle{ \Delta=0}\)), albo jednym z jego pierwiastków musi być -1. pełny kwadrat otrzymamy tylko dla b=3 i b=-1. pierwsze odpada, bo wtedy wyjściowy wielomian byłby pełnym sześcianem; b=-1 daje nam jako drugi pierwiastek liczbę 1. jest ok. drugi przypadek: jeżeli -1 jest pierwiastkiem trójmianu \(\displaystyle{ x^2+x(b-1)+1}\), to b=3 - co już sprawdziliśmy. odpowiedź: b=-1.

[matshadow]

Ale przecież dwuelementowy zbiór rozwiązań nie oznacza, że nie może być 3-krotnego pierwiastka.

[pojaszek]

Czyli dlaczego 1 też należy do tego zbioru ?

[klaustrofob]

Ale przecież dwuelementowy zbiór rozwiązań nie oznacza, że nie może być 3-krotnego pierwiastka.

zbiór dwuelementowy to taki, który ma dwa elementy. siłą rzeczy są one różne. czyli trzykrotnego być nie może.

pojaszek - nie. odpowiedź brzmi: b=-1, a pierwiastkami wielomianu są wtedy x1=-1 i x2=1 <-pierwiastek podwójny.