Witam mam problem z następującym dowodem:
Wykazać, że wykres wielomianu trzeciego stopnia jest symetryczny względem swojego punktu przegięcia.
Jak się za to zabrac? Dziękuję za pomoc.
symetria wielomianu stopnia 3
-
zati61
- Użytkownik
- Posty: 656
- Rejestracja: 11 gru 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: aaa
- Pomógł: 119 razy
symetria wielomianu stopnia 3
może tak:
punkt przegięcia wielomianu ax^3+bx^2+cx+d to: \(\displaystyle{ x_{0}= \frac{-b}{3a}}\)
Teraz trzeba skorzystać z własności symetri figury,fukcji, itp. względem punktu P, u nas \(\displaystyle{ P=(x_{0};0)}\)
Wiec obierzmy dowolny punkt \(\displaystyle{ A=(x_{1};y(x_{1}))}\). Trzeba wykazać, że\(\displaystyle{ |PA|=|PB|}\), gdzie \(\displaystyle{ B=(x_{2};y(x_{2}))=(-x_{1};-y(x_{1))}\)to punkt symetryczny wzgledem P do A.
Więc przymujac nasze A,B mamy:
\(\displaystyle{ |PA|= \sqrt{(x_{1}+ \frac{b}{3a})^2+(ax_{1}^3+bx_{1}^2+cx_{1}+d)^2}\\
|PB|= \sqrt{(- \frac{b}{3a}-x_{2})^2+(0-(ax_{2}^3+bx_{2}^2+cx_{2}+d)^2}=
\sqrt{(\frac{b}{3a} + x_{1})^2+(0-[-(ax_{1}^3+bx_{1}^2+cx_{1}+d)])^2}=|PA|}\)c.n.d.
na rysunku dobrze wszystko widać np. y=x(x-1)(x-2), punkt przegiecia: x=1
punkt przegięcia wielomianu ax^3+bx^2+cx+d to: \(\displaystyle{ x_{0}= \frac{-b}{3a}}\)
Teraz trzeba skorzystać z własności symetri figury,fukcji, itp. względem punktu P, u nas \(\displaystyle{ P=(x_{0};0)}\)
Wiec obierzmy dowolny punkt \(\displaystyle{ A=(x_{1};y(x_{1}))}\). Trzeba wykazać, że\(\displaystyle{ |PA|=|PB|}\), gdzie \(\displaystyle{ B=(x_{2};y(x_{2}))=(-x_{1};-y(x_{1))}\)to punkt symetryczny wzgledem P do A.
Więc przymujac nasze A,B mamy:
\(\displaystyle{ |PA|= \sqrt{(x_{1}+ \frac{b}{3a})^2+(ax_{1}^3+bx_{1}^2+cx_{1}+d)^2}\\
|PB|= \sqrt{(- \frac{b}{3a}-x_{2})^2+(0-(ax_{2}^3+bx_{2}^2+cx_{2}+d)^2}=
\sqrt{(\frac{b}{3a} + x_{1})^2+(0-[-(ax_{1}^3+bx_{1}^2+cx_{1}+d)])^2}=|PA|}\)c.n.d.
na rysunku dobrze wszystko widać np. y=x(x-1)(x-2), punkt przegiecia: x=1