Wyznaczanie liczb spełniających nierówność

prudencja · Post autor: **prudencja** » 13 gru 2009, o 20:18

Dane są wielomiany \(\displaystyle{ P(x)= 5x-4, \ Q(x)=6x+5, \ S(x)= 3x ^{2}+2x+1}\).
Wielomian V(x) jest iloczynem wielomianów \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ Q(x)}\), a wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest iloczynem wielomianów \(\displaystyle{ P(x), \ Q(x) \ \text{i} \ S(x)}\).
a) wyznacz wszystkie liczby a spełniające nierówność \(\displaystyle{ V(a)>0}\)
b) wyznacz wszystkie liczby b, dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ W(b)=V(b)}\)

Wilkołak · Post autor: **Wilkołak** » 13 gru 2009, o 20:54

No to w czym problem?
Zobaczmy jak wygląda wielomian V:
\(\displaystyle{ V(x) = (5x - 4)(6x + 5) > 0 \\
(x - \frac{4}{5})(x + \frac{5}{6}) > 0}\)
Co nie jest jasne? Kiedy V(x) jest równe zero? W dwóch miejscach. Ponadto ramiona tej paraboli skierowane są w górę, więc V(x) jest większe od zera dla x na lewo od mniejszego miejsca zerowego i na prawo od większego miejsca zerowego.

W b) otrzymujemy następującą równość:
\(\displaystyle{ (3x^2 + 2x +1)(5x - 4)(6x + 5) = (5x - 4)(6x + 5)}\)
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\(\displaystyle{ (5x - 4)(6x + 5)(3x^2 + 2x + 1 - 1) = 0 \\
(5x - 4)(6x + 5)(3x^2 + 2x) = 0 \\
(5x - 4)(6x + 5)(3x + 2)x = 0}\)
Teraz łatwo widać, że równość zachodzi dla 4 wartości x:
\(\displaystyle{ 5x - 4 = 0 \\
6x + 5 = 0 \\
3x + 2 = 0 \\
x = 0}\)

fidget · Post autor: **fidget** » 23 cze 2011, o 22:31

Wilkołak pisze: W b) otrzymujemy następującą równość:
\(\displaystyle{ (3x^2 + 2x +1)(5x - 4)(6x + 5) = (5x - 4)(6x + 5)}\)
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\(\displaystyle{ (5x - 4)(6x + 5)(3x^2 + 2x + 1 - 1) = 0}\)
\(\displaystyle{ (5x - 4)(6x + 5)(3x^2 + 2x) = 0}\)
\(\displaystyle{ (5x - 4)(6x + 5)(3x + 2)x = 0}\)
Teraz łatwo widać, że równość zachodzi dla 4 wartości x:
\(\displaystyle{ 5x - 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ 6x + 5 = 0}\)
\(\displaystyle{ 3x + 2 = 0}\)
\(\displaystyle{ x = 0}\)

Nie rozumiem, jak przeniesienie prawej strony zamieniło się w tą 1 po lewej w nawiasie...
Nie można przedzielić obu stron przez \(\displaystyle{ (5x - 4)(6x + 5)}\) ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 23 cze 2011, o 22:38

fidget pisze: Nie rozumiem, jak przeniesienie prawej strony zamieniło się w tą 1 po lewej w nawiasie...
Nie można przedzielić obu stron przez \(\displaystyle{ (5x - 4)(6x + 5)}\) ?

1)Na lewej miał (-1) - wyłączył to co było na prawej przed nawias.

2) Nie - bo zgubisz niektóre rozwiązania.

fidget · Post autor: **fidget** » 23 cze 2011, o 23:13

Co z tego że wyłączył po prawej przed nawias?
to -1 pojawia się w nawiasie.

Dalej nic nie rozumiem.

EDIT://
No dobra, widzę już JAK to się dzieje, ale...
jak mam to widzieć? jak mam to zauważać w pierwszych paru sekundach?
Jak się tego nauczyć?

Na pierwszy rzut oka - chcę skrócić obie storny przez 2 wielomiany
Po zastanowieniu - tak, tylko to można zrobić.

A na maturce już bym na tym poleciał...

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 24 cze 2011, o 18:26

fidget pisze: (No dobra, widzę już JAK to się dzieje, ale...
jak mam to widzieć? jak mam to zauważać w pierwszych paru sekundach?
Jak się tego nauczyć?)

Na pierwszy rzut oka - chcę skrócić obie storny przez 2 wielomiany
Po zastanowieniu - tak, tylko to można zrobić.

A na maturce już bym na tym poleciał...

Co do tego w nawiasie :
- rozwiązujący skrócił zapis (bo mu się nie chciało klawiatury męczyć)
- więc nie było to do ,,widzenia" ot tak i to w sekundach
- można się nauczyć robiąc.

Co do reszty:
- równań (nierówności też) z reguły nie skracamy przez coś co zawiera niewiadomą. Więc nie można tego robić.