Wzory Viete'a dla czwartego stopnia

[Revius]

Czy są wzory Viete'a dla czwartego stopnia?
Czy można je utworzyć opierając sie na wzorach Viete'a dla 2 i 3 stopnia?
Jeśli tak, to jak one powinny wyglądać?

[Althorion]

Wzory Viete'a są wzorami dotyczącymi wszystkich wielomianów stopnia od drugiego wzwyż.

Wyglądają one tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots + x_{n-1} x_n = \tfrac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n} \end{cases}}\)

Przy czym, jak podejrzewam, Ciebie interesuje najbardziej pierwszy i ostatni z nich, dla wielomianu stopnia czwartego równymi:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \frac{-b}{a} \\ x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a}}\)
dla wielomianu w postaci \(\displaystyle{ W(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\).

[DevilHunter]

Wzory Viete'a są wzorami dotyczącymi wszystkich wielomianów stopnia od drugiego wzwyż.

Wyglądają one tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots + x_{n-1} x_n = \tfrac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n} \end{cases}}\)

Przy czym, jak podejrzewam, Ciebie interesuje najbardziej pierwszy i ostatni z nich, dla wielomianu stopnia czwartego równymi:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \frac{-b}{a} \\ x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a}}\)
dla wielomianu w postaci \(\displaystyle{ W(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\).

Czy wszystkie wzory Viete'a dla wielomianu czwartego stopnia wyglądały by tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \frac{b}{a} \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = c \\ x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a}\end{cases}}\)???


Podejrzewam, że pomiędzy drugim a ostatni wzorem powinien być jeszcze jeden, ale niestety nie wiem jaki.
\(\displaystyle{ W(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e.}\)

[schloss]

można wyznaczyć na piechotę, przyrównując wymnożoną postać iloczynową z postacią ogólną

[ymar]

DevilHunter, pierwszy jest dobrze. W drugim powinno być c/a. Trzeci:
\(\displaystyle{ x_1 x_2 x_3+x_2 x_3 x_4+x_3 x_4 x_1+x_4 x_1 x_2=-d/a}\)
Czwarty dobrze.

[DevilHunter]

Dzięki ymar

Czyli podsumowując wzory Viete'a dla wielomianów czwartego stopnia wyglądają tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \frac{b}{a} \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = \frac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3+x_2 x_3 x_4+x_3 x_4 x_1+x_4 x_1 x_2= - \frac{d}{a}
\\ x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a} \end{cases}}\)

[ymar]

Tak.