Wielomiany, równania i nierówności

[infinitos]

Witam, jutro klasówka z wielomianów których do końca nie rozumiem, co jest skutkiem grypy... Przechodząc do rzeczy prosił bym o rozwiązanie zadań i wytłumaczenie ich w miarę możliwości, z góry bardzo dziękuje:

1. Rozwiąż nierówności

a) \(\displaystyle{ \left(x+3 \right) \left(x^{2}-4 \right) > 0}\)
b) \(\displaystyle{ 7x^{3}+2x^{2}-21x-6 \le 0}\)

2. Rozwiąż równania

a) \(\displaystyle{ x^{4}-5x^{3}+6x^{2}=0}\)
b) \(\displaystyle{ 4x^{3}+8x-9x-18=0}\)

3. Sprawdź nie wykonując dzielenia czy podana liczba jest pierwiastkiem wielomianu

\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-3x^{3}-6x-4}\)

\(\displaystyle{ r=-1}\)

4. Liczba \(\displaystyle{ r=2}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}-7x+6}\) znajdź pozostałe pierwiastki.

[mx2]

Witam, jutro klasówka z wielomianów których do końca nie rozumiem, co jest skutkiem grypy... Przechodząc do rzeczy prosił bym o rozwiązanie zadań i wytłumaczenie ich w miarę możliwości, z góry bardzo dziękuje:

1. Rozwiąż nierówności

a) \(\displaystyle{ \left(x+3 \right) \left(x^{2}-4 \right) > 0}\)
b) \(\displaystyle{ 7x^{3}+2x^{2}-21x-6 \le 0}\)

a)
rozpisujesz to
\(\displaystyle{ (x+3)(x-2)(x+2)>0}\)
Przyrównujesz każdy nawias to 0, i wyliczasz 3 "iksy". Potem rysujesz wykres.
I Wyznaczasz przedział leżący na osią X, czyli liczby dodatnie.
Rozwiązanie wygląda tak:
b)
\(\displaystyle{ x^{2}(7x+2)-3(7x+2)}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-3)(7x+2)}\)
Postępujesz tak jak w punkcie a.

2.
Wyciągasz przed nawias co się da.
a)\(\displaystyle{ x^{4}-5x^{3}+6x^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2}+5x+6)}\)
I wyliczasz \(\displaystyle{ \Delta}\)

3.
Sprawdzasz czy zachodzi równość
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
Jeśli tak, to -1 jest rozwiązanie równania.

4.
Dzielisz wielomian W(x) przez \(\displaystyle{ x-2}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)\cdotP(x)}\)

[infinitos]

Mógł by mi ktoś bliżej przybliżyć to zadańko pierwsze?

[crittson]

a)
rozpisujesz drugi nawias korzystajac ze wzoru na roznice kwadratow, dostaniesz 3 pierwiastki ktore umieszczasz na osi. nie ma wsrod nich pierwiastkow parzystokrotnych, \(\displaystyle{ a _{n} > 0}\), a wiec rysowanie wykresu zaczynasz z gory z prawej strony przecinajac po kolei wszystkie pierwiastki( wyjdzie cos w stylu 'wężyka') i odczytujesz przedzialy, gdzie 'wężyk' znajduje sie powyzej osi.

b)
najlepiej jest znalezc dwa wyrazy, z ktorych mozna cos wylaczyc. ja osobiscie pogrupowalem 1 z 3 i 2 z 4 wyrazem. otrzymalem \(\displaystyle{ 7x(x ^{2} -3)+2(x ^{2} -3)=(7x+2)(x ^{2} -3)=(7x+2)(x- \sqrt{3} )(x+ \sqrt{3} )}\)
oczywiscie grupowanie zaprezentowane przez kolege takze jest prawidlowe, najwazniejsze aby w obu nawiasach po wylaczeniu miec taki sam element. pozniej juz tylko kolejna os, kolejny wezyk, i tym razem odczytujesz przedzialy ponizej osi, domykajac je(\(\displaystyle{ \le 0}\)).

[infinitos]

A zad. nr 2 przykład b jak z tego coś wyciągnąć?

[crittson]

sprawdz czy dobrze zapisales. jesli bedzie tam \(\displaystyle{ 8x ^{2}}\) to bedzie mozna to w miare szybko zrobic.

[infinitos]

tak crittson zgadza się do potęgi drugiej