Wykazać, że funkcja jest rosnąca

karolina21 · Post autor: **karolina21** » 5 gru 2009, o 18:00

Funkcja \(\displaystyle{ h}\) określona jest wzorem \(\displaystyle{ h(x)=x^{3}+2x-3}\). Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ a<b}\), to \(\displaystyle{ h(a)<h(b)}\).

Eloy · Post autor: **Eloy** » 5 gru 2009, o 18:50

Niech \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ a<b}\). Wtedy

\(\displaystyle{ h(b)-h(a)=b^{3}-a^{3}+2b-2a=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2})+2(b-a)=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}+2)}\)

Oba wyrażenia w nawiasach są dodatnie, zatem \(\displaystyle{ h(b)-h(a)>0}\).

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 5 gru 2009, o 18:55

lub stosując rachunek pochodnych
\(\displaystyle{ h'(x)=3x^2+2}\)
Łatwo zauważyć, że pochodna jest dodatnia dla każdego x zatem funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 5 gru 2009, o 22:32

A wystarczyło poprawić ten pod linkiem i podpowiedź byś dostała
post596138.htm#p596138