Warunek konieczny

[Vormillion]

Podaj warunek konieczny i wystarczający na to, żeby wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}}\) miał trzykrotny pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0}= 1}\)

Nie mam pojęcia jak zacząć. Wydaje mi się, że może chodzi o wzory Vietta dla wielomianów ale pewnie się mylę.

[Dasio11]

Wyłącz \(\displaystyle{ x^2}\) przed nawias. Konieczny to pewnie będzie \(\displaystyle{ W(1)=0}\), ale nie jestem pewien... Wystarczający to chyba tylko \(\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c \equiv x^3-3x^2+3x-1}\)...

[Vormillion]

Dlaczego \(\displaystyle{ x^3-3x^2+3x-1}\)?

[matshadow]

Zgadza się (doszedłem do tego ze schematu Hornera, co potwierdza ).
\(\displaystyle{ W(x) = x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}=x^2(x^3+ax^2+bx+c)}\)
Skoro W(x) ma mieć 3ktotny pierwiastek równy 1, to
\(\displaystyle{ W(x)=x^2(x-1)^3=x^2(x^3-3x^2+3x-1)}\)
Zatem \(\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c=x^3-3x^2+3x-1}\), no a z tego \(\displaystyle{ \begin{cases} a=-3\\b=3\\c=-1\end{cases}}\)

[G.BEST7]

3x dzielisz to Hornerem przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\), gdzie \(\displaystyle{ a=1}\) i kolejne reszty przyrównujesz do zera, rozwiązujesz układ równań i masz odpowiedzi. a jest 3-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W(x)|(x-a)}\) 3-krotnie.
To tak łopatologicznie.

[Dasio11]

Ale dzielić przez dwumian trzy razy jest troszkę trudniej niż przyrównać wielomian do \(\displaystyle{ (x-1)^3}\) (wiemy, że nie może już mieć innych pierwiastków, bo już znamy 5 z nich).

[Vormillion]

Dziękuję za pomoc:)