Warunek, jaki muszą spełniać współczynniki wielomianu

Nelly91 · Post autor: **Nelly91** » 3 gru 2009, o 13:16

35.
a) Jaki warunek muszą spełniać współczynniki wielomianu trzeciego stopnia \(\displaystyle{ w(x)=ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d}\), aby dla dowolnego argumentu \(\displaystyle{ x \in R}\) zachodziła równość w(x)+w(-x)=0?
b) Wykaż, że jeśli dla dowolnego argumentu \(\displaystyle{ x \in R}\) wielomian w spełnia warunek w(x)=w(-x), to wielomian ten nie może być wielomianem trzeciego stopnia.
Bardzo proszę o pomoc, każda wskazówka będzie mile widziana.

bayo84 · Post autor: **bayo84** » 3 gru 2009, o 14:06

a)
\(\displaystyle{ W(x) - W(-x) = ax^3-a(-x)^3+bx^2-b(-x)^2+cx-c(-x)+d = ax^3+ax^3+bx^2-bx^2+cx+cx+d = 2ax^3+2cx-d = 0 \Leftrightarrow a=0 \wedge c=0 \wedge d=0 \wedge b \in R}\)

Nelly91 · Post autor: **Nelly91** » 3 gru 2009, o 15:05

Ok, już rozumiem na czym to polega, tylko tam powinno być w(x)+w(-x). Dzięki.

Ktoś umie zrobić drugi podpunkt? Proszę o pomoc. Zawsze miałam duże problemy z wykazywaniem i z dowodami.

Szemek · Post autor: **Szemek** » 3 gru 2009, o 15:13

bayo84, przez pomyłkę zrobił drugi podpunkt
Słowo komentarza: \(\displaystyle{ a=0}\), czyli współczynnik przy \(\displaystyle{ x^3}\) jest zerem, zatem wielomian nie może być trzeciego stopnia.

a)
\(\displaystyle{ W(x) + W(-x) = 0\\
ax^3+bx^2+cx+d + (-ax^3)+bx^2+(-cx)+d = 0 \\
2bx^2+2d = 0 \Rightarrow b=0, \; d=0}\)
\(\displaystyle{ a,c}\) - dowolne

bayo84 · Post autor: **bayo84** » 3 gru 2009, o 16:00

a rzeczywiscie - zle przeczytalem i myslalem, ze w a jest \(\displaystyle{ w(x) - w(-x) =0}\) , a jest \(\displaystyle{ +}\). Dlatego ten podpunkt b) wydal mi sie tozsamy z podpunktem a)...