Rozwinięcie wielomianu

[NumberOne]

Mam wielomian

\(\displaystyle{ ( \sqrt{x} + \sqrt[3]{x}) ^{9}}\) i mam wyznaczyć wyraz zawierający \(\displaystyle{ x^{4}}\)

I robiłem to z \(\displaystyle{ (-1)^{k} {n\choose k} a^{n-k} \cdot b^{k}}\)

\(\displaystyle{ (-1)^{k} {n\choose k} \sqrt{x} ^{9-k} \cdot \sqrt[3]{x} ^{k}}\)

Po dojściu do tego dalej nie wiem już jak to rozpisać. Czy mógłby mi to ktoś wytłumaczyć ?

[anna_]

Czemu nie wstawiłaś do tego wzoru \(\displaystyle{ n=9}\)?

\(\displaystyle{ \sqrt{x} ^{9-k} \cdot \sqrt[3]{x} ^{k}=x^{ \frac{9-k}{2} } \cdot x^{ \frac{k}{3} }=x^{\frac{9-k}{2} +\frac{k}{3} }}\)

Uprość to i przyrównaj wykladnik do \(\displaystyle{ 4}\). Będziesz miała \(\displaystyle{ k}\).

[NumberOne]

Teraz już rozumiem.

A gdy mam znaleźć wyraz który ma stałą wartość dla wszystkich dopuszczalnych wartości x w dwumianie \(\displaystyle{ (3x+ \frac{1}{3x ^{2}} )^{6}}\). To jaką metodą rozwiązuje się tego typu zadania ?

Jedyne co mi przychodzi do głowy to tylko rozpisanie tego:

\(\displaystyle{ (3x+ \frac{1}{3x ^{2}} )^{6} = {6\choose 0}(3x)^{6} + {6\choose 1}(3x)^{5}( \frac{1}{3x ^{2} }) + {6\choose 2}(3x)^{4}( \frac{1}{3x ^{2}})^{2} + {6\choose 3} (3x)^{3}( \frac{1}{3x^{2}})^{3} + {6\choose 4}(3x)^{2}( \frac{1}{3x^{2}})^{4} + {6\choose 5} (3x)( \frac{1}{3x^{2}})^{5} + {6\choose 6} ( \frac{1}{3x^{2}})^{6}}\)

\(\displaystyle{ = 1(3x)^{6} + 6(3x)^{5}( \frac{1}{3x ^{2} }) + 15(3x)^{4}( \frac{1}{3x ^{2}})^{2} + 20 (3x)^{3}( \frac{1}{3x^{2}})^{3} + 15(3x)^{2}( \frac{1}{3x^{2}})^{4} + 6 (3x)( \frac{1}{3x^{2}})^{5} + 1 ( \frac{1}{3x^{2}})^{6}}\)

I w zasadzie to byłby już koniec mojego pomysłu.

[anna_]

Rób tak samo jak poprzednio

\(\displaystyle{ (-1)^{k} {6\choose k} (3x)^{6-k} \cdot (\frac{1}{3x^2})^ {k}}\)

Wykladnik \(\displaystyle{ x}\) musi być równy zero, bo \(\displaystyle{ x^0=1}\)

\(\displaystyle{ (3x)^{6-k} \cdot (\frac{1}{3x^2})^ {k}=3^{2(3-k)} \cdot x^{3(2-k)}}\)

\(\displaystyle{ 3(2-k)=0}\)
\(\displaystyle{ k=2}\)