Wielomian W(x) ma postać

[karolina182]

Wielomian W(x) ma postać \(\displaystyle{ W _{(x)}=x ^{5}+a _{4}x ^{4}+a _{3}x ^{3}+a _{2}x ^{2}+a _{1}x}\), gdzie a1, a2, a3, a4 są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Wiedząc dodatkowo, że W(2)=2, W(4)=4, W(6)=6, W(8)=8 oblicz W(10) (bez wyznaczania współczynników a1,a2,a3,a4 ) .Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.Co prawda jest już ono umieszczone na forum,ale nie jest rozwiązane do końca i jasno wytłumaczone.Z góry dziękuję za odpowiedz.W zadaniu powinno wyjść 3850.

[piasek101]

Widziałem kiedyś to zadanie.
Kombinowałem tak :

\(\displaystyle{ W(x)=x(..................)}\) (wyciągnąłem x-sa przed nawias)

Skoro
\(\displaystyle{ W(2)=2(................)=2}\) to \(\displaystyle{ (....................)=1}\)

\(\displaystyle{ W(4)=4(...............)=4}\) to \(\displaystyle{ (..................)=1}\)

itd

To oznacza, że (..................) jest postaci \(\displaystyle{ [(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)+1]}\)

[karolina182]

Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić to przejście:

To oznacza, że (..................) jest postaci [(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)+1]
?

[piasek101]

Dokładnie właśnie to to oznacza, nie bardzo wiem jak przetłumaczyć, popróbuję :

Szukałem takiej postaci tego nawiasu z kropkami (nazwijmy go Q(x)) aby zachodziło :

Q(2)=1 i Q(4)=1 i Q(6)=1 i Q(8) = 1 doszedłem (co widać), że w nawiasie musi istnieć postać iloczynowa (czwartego stopnia) z pierwiastkami 2; 4; 6; 8 do tego trzeba dodać 1 aby wartość całego nawiasu dla podanych liczb była równa 1.