Wykaż, że wielomian W przybiera wartości dodatnie dla x, gdy

[plancys]

1) \(\displaystyle{ W(x) = (x -1)(x-3)( x-7)(x-9) + 40}\)
2) \(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - 2x^{3}+2x^{2}-8x+16}\)

[G.BEST7]

1. Podstaw pod x jakąkolwiek liczbę dodatnią, ujemną bądź też równą zeru, W(x) zawsze będzie dodatni.

[plancys]

1. Podstaw pod x jakąkolwiek liczbę dodatnią, ujemną bądź też równą zeru, W(x) zawsze będzie dodatni.

Ok, ale ja nie mam tego sprawdzić tylko wykazać/udowodnić , że dla każdej liczby tak jest a nie, że to jest prawdziwe dla jakiś 3 wymyślonych liczb..

[nuclear]

G.BEST7 chcesz powiedzieć że dla mojego wielomianu gdy wezmę x=2, x=0 , x=-5 to wynika że jego wartość zawsze większa od 0?

co do głównego tematu rozpatrz wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-3)(x-7)(x-9) i znajdz jego najmniejszą wartość a następnie sprawdź co się stanie jak podniesiesz wykres o 40.}\)

[G.BEST7]

nuclear nie, ale x to jest liczba za którą można wstawić dowolną liczbę rzeczywistą, ale tą samą w każdym nawiasie .

[plancys]

A jak obliczyć najmniejszą wartość wielomianu ?

[G.BEST7]

Z pochodnej.

[plancys]

Z pochodnej.

...aktualnie wypadło nam to z programu w liceum, więc nie mam pojęcia jak to zrobić. Jest jakiś inny sposób?

[piasek101]

a)
Zasada jest tu :
post560104.htm

sprytniej tu :
149242.htm

b) podpowiedź (na końcu)
149242.htm

[mat_61]

Przykład 2)

\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-8x+16= \\
x^{3}(x-2)+2x^{2}-8(x-2)= \\
(x-2)(x^{3}-8)+2x^{2}= \\
(x-2)(x-2)(x^{2}-2x+4)+2x^{2}=...}\)

Myślę, że teraz rozwiązanie jest już jasne?-- 28 lis 2009, o 19:58 --Przykład 1)

\(\displaystyle{ (x-1)(x-3)(x-7)(x-9)+40= \\
=(x-1)(x-9)(x-3)(x-7)+40= \\
=[(x-5)+4][(x-5)-4][(x-5)+2][(x-5)-2]+40= \\
=[(x-5)^{2}-16][(x-5)^{2}-4]+40= \\
=(x-5)^{4}-20(x-5)^{2}+104}\)

I teraz wystarczy zrobić podstawienie:

\(\displaystyle{ (x-5)^{2}=t}\)

oraz rozwiązać nierówność:

\(\displaystyle{ t^{2}-20t+104 \ge 0}\)

[karol123]

Na oko już widać, że delta jest ujemna , więc to już wystarczy do wykazania ?

[mat_61]

Na oko już widać, że delta jest ujemna , więc to już wystarczy do wykazania ?

Tak, bo jeżeli ta ostatnia nierówność jest spełniona dla wszystkich t, czyli \(\displaystyle{ W(t)=t^{2}-20t+104}\) nie ma miejsc zerowych, to także W(x) nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, to W(x)>0 dla dowolnych x rzeczywistych.

[karol123]

Dzięki.