ZADANIE :
Udowodnij że, wielomian stopnia trzeciego , ma CO NAJMNIEJ jeden pierwiastek rzeczywisty.
Prosze o dowód , albo literature w której go znajde.
WIelomian stopnia 3 - pierwiastek rzeczywisty
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
WIelomian stopnia 3 - pierwiastek rzeczywisty
Rozumiem, że chodziło o wielomian stopnia 3 o współczynnikach rzeczywistych. Są co najmniej dwie drogi:
1.) Wskazówka: Skorzystaj z własności Darboux i pomyśl nad znakiem funkcji dla dużych liczb na plusie i na minusie
2.) Udowodnij, że jeśli dana liczba zespolona o niezerowej części urojonej jest pierwiastkiem wielomianu (stopnia 3) o współczynnikach rzeczywistych, to liczba do niej sprzężona też jest rozwiązaniem; przyda ci się przedstawienie wielomianu w postaci iloczynu oraz własności:
\(\displaystyle{ z\in \Re \Leftrightarrow \overline{z} \in \Re}\)
\(\displaystyle{ z_{1} \cdot z_{2} \in \Re \Leftrightarrow z_{2}=k\overline{z_{1}},k \in \Re}\)
1.) Wskazówka: Skorzystaj z własności Darboux i pomyśl nad znakiem funkcji dla dużych liczb na plusie i na minusie
2.) Udowodnij, że jeśli dana liczba zespolona o niezerowej części urojonej jest pierwiastkiem wielomianu (stopnia 3) o współczynnikach rzeczywistych, to liczba do niej sprzężona też jest rozwiązaniem; przyda ci się przedstawienie wielomianu w postaci iloczynu oraz własności:
\(\displaystyle{ z\in \Re \Leftrightarrow \overline{z} \in \Re}\)
\(\displaystyle{ z_{1} \cdot z_{2} \in \Re \Leftrightarrow z_{2}=k\overline{z_{1}},k \in \Re}\)