ZADANIE :
Udowodnij że kazdy wielomian stopnia trzeciego o współczynnikach rzeczywistych, przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.
Prosze o dowód (albo literature w którym moge go znaleźć )
Wielomian stopnia 3- dowod
-
mathX
- Użytkownik
- Posty: 648
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 15:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 116 razy
Wielomian stopnia 3- dowod
Wystarczy, że policzysz granice w \(\displaystyle{ +\infty}\) i \(\displaystyle{ -\infty}\).
Okaże się, że jedna z nich dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\), a druga do \(\displaystyle{ -\infty}\). (która, gdzie dąży to zależy od znaku.)
Ale to nam pokazuje, że przyjmuje wartości w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty ;+\infty )=\mathbb{R}}\)
To jest najprostszy dowód, na jaki wpadłem z miejsca.
Pozdrawiam.
PS. Oczywiście zakładam, że funkcja jest ciągła.
Okaże się, że jedna z nich dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\), a druga do \(\displaystyle{ -\infty}\). (która, gdzie dąży to zależy od znaku.)
Ale to nam pokazuje, że przyjmuje wartości w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty ;+\infty )=\mathbb{R}}\)
To jest najprostszy dowód, na jaki wpadłem z miejsca.
Pozdrawiam.
PS. Oczywiście zakładam, że funkcja jest ciągła.
-
blost
- Użytkownik
- Posty: 1994
- Rejestracja: 20 lis 2007, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
- Pomógł: 271 razy
Wielomian stopnia 3- dowod
no to moze bedzie taki trywialny dowod ale kozystajac z tego, ze funkcja wielomianowa jest ciagla wynika że:
dla przyjetego
\(\displaystyle{ f(a)=c}\)
\(\displaystyle{ f(b)=d}\)
przyjmyje wrzystkie wartosci posrednie miedzy c i d.
teraz wystarczy rozpatrzyc granice
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } ax^3+bx^2+cx= \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } ax^3+bx^2+cx=- \infty}\)
no i teraz widzisz ze \(\displaystyle{ f(x) \rightarrow (- \infty , \infty )}\)
dla przyjetego
\(\displaystyle{ f(a)=c}\)
\(\displaystyle{ f(b)=d}\)
przyjmyje wrzystkie wartosci posrednie miedzy c i d.
teraz wystarczy rozpatrzyc granice
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } ax^3+bx^2+cx= \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } ax^3+bx^2+cx=- \infty}\)
no i teraz widzisz ze \(\displaystyle{ f(x) \rightarrow (- \infty , \infty )}\)
Wielomian stopnia 3- dowod
ok a jak udowodnić że jest ciągła bo o to mi chodzi też ??blost pisze:no to moze bedzie taki trywialny dowod ale kozystajac z tego, ze funkcja wielomianowa jest ciagla wynika że:
dla przyjetego
\(\displaystyle{ f(a)=c}\)
\(\displaystyle{ f(b)=d}\)
przyjmyje wrzystkie wartosci posrednie miedzy c i d.
teraz wystarczy rozpatrzyc granice
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } ax^3+bx^2+cx= \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } ax^3+bx^2+cx=- \infty}\)
no i teraz widzisz ze \(\displaystyle{ f(x) \rightarrow (- \infty , \infty )}\)
-
blost
- Użytkownik
- Posty: 1994
- Rejestracja: 20 lis 2007, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
- Pomógł: 271 razy
Wielomian stopnia 3- dowod
no dobra wiec to mniej wiecej tak wyglada...
mamy jakas funkcje \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\)
jezeli\(\displaystyle{ x_n \rightarrow x_0 to f(x_n) \rightarrow f(x_0)}\)
w sumie taki dowod... co praktycznie jest takim srednim dowodem ale ja lepszych nie potrafie i tak musisz udowodnic dla kazdego jednomianu, a potem jako iloczyn funkji ciaglych jest to fnukcja ciagla... pozatym mozna po prostu zauwazyc ze nei ma zadnych pkt nieciaglosci
mamy jakas funkcje \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\)
jezeli\(\displaystyle{ x_n \rightarrow x_0 to f(x_n) \rightarrow f(x_0)}\)
w sumie taki dowod... co praktycznie jest takim srednim dowodem ale ja lepszych nie potrafie i tak musisz udowodnic dla kazdego jednomianu, a potem jako iloczyn funkji ciaglych jest to fnukcja ciagla... pozatym mozna po prostu zauwazyc ze nei ma zadnych pkt nieciaglosci
Wielomian stopnia 3- dowod
blost pisze:no dobra wiec to mniej wiecej tak wyglada...
mamy jakas funkcje \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\)
jezeli\(\displaystyle{ x_n \rightarrow x_0 to f(x_n) \rightarrow f(x_0)}\)
w sumie taki dowod... co praktycznie jest takim srednim dowodem ale ja lepszych nie potrafie i tak musisz udowodnic dla kazdego jednomianu, a potem jako iloczyn funkji ciaglych jest to fnukcja ciagla... pozatym mozna po prostu zauwazyc ze nei ma zadnych pkt nieciaglosci
no tak oczywiste tylko nie dla wykładowcy hehe zawsze zapyta ( przemysle to co napisales )
-
mathX
- Użytkownik
- Posty: 648
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 15:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 116 razy
Wielomian stopnia 3- dowod
No to dowód nie wprost
Załóżmy, że wielomian \(\displaystyle{ f(x)=ax^3+bx^2+cx}\) ma dziedzinę: \(\displaystyle{ D: \mathbb{R} \backslash \{ k\}}\), czyli jest nieciągły w punkcie \(\displaystyle{ k}\).
Podstawiając jednak do wzoru: \(\displaystyle{ f(k)=ak^3+bk^2+kx}\) zauważamy, że przyjmuje on pewną wartość, zatem musi być ciągła w tym punkcie 0- sprzeczność.
Żeby zrozumieć ten dowód, pokaże może coś podobnego na przykładzie: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x}}\).
Tutaj wiemy, że jest ona nieciągła w zerze, jednak załóżmy, że \(\displaystyle{ D = \mathbb{R}}\)
Podstawiając do wzoru: \(\displaystyle{ f(0)= \frac{1}{0}}\) otrzymujemy sprzeczność, bo przyjmuje wartośc nieoznaczoną (jc przez zero nie można dzielić. ) Zatem funkcja jest nieciągła w 0.
Tak mnie jakoś na dowody naszło, no ale sądzę, że ten jest dość dobry
Załóżmy, że wielomian \(\displaystyle{ f(x)=ax^3+bx^2+cx}\) ma dziedzinę: \(\displaystyle{ D: \mathbb{R} \backslash \{ k\}}\), czyli jest nieciągły w punkcie \(\displaystyle{ k}\).
Podstawiając jednak do wzoru: \(\displaystyle{ f(k)=ak^3+bk^2+kx}\) zauważamy, że przyjmuje on pewną wartość, zatem musi być ciągła w tym punkcie 0- sprzeczność.
Żeby zrozumieć ten dowód, pokaże może coś podobnego na przykładzie: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x}}\).
Tutaj wiemy, że jest ona nieciągła w zerze, jednak załóżmy, że \(\displaystyle{ D = \mathbb{R}}\)
Podstawiając do wzoru: \(\displaystyle{ f(0)= \frac{1}{0}}\) otrzymujemy sprzeczność, bo przyjmuje wartośc nieoznaczoną (jc przez zero nie można dzielić. ) Zatem funkcja jest nieciągła w 0.
Tak mnie jakoś na dowody naszło, no ale sądzę, że ten jest dość dobry