Iloczyn wielomianów, kwadrat różnicy

[patry93]

Witam.

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie wielomianem o wsp. całkowitych. Niech \(\displaystyle{ a \neq b \in \mathbb{Z}}\).
Zachodzi: \(\displaystyle{ f(a)f(b)=-(a-b)^2}\)
Czy istnieje takie \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ f(a)q=a-b}\)?

Sprawdzając "suche liczby" wychodziło by na to, że takie \(\displaystyle{ q}\) nie istnieje, np. \(\displaystyle{ (3 \cdot 5^2) \cdot (3 \cdot 7^2)=(3 \cdot 5 \cdot 7)^2}\). Nie wiem jak to będzie w przypadku wielomianów.

Z góry dziękuję.

[matshadow]

\(\displaystyle{ \begin{cases} f(a)f(b)=-(a-b)^2\\ f(a)q=a-b\end{cases} \Rightarrow \frac{f(b)}{q}=-(a-b) \Rightarrow q=\frac{f(b)}{b-a}}\)
Teraz trzeba by sprawdzić, czy b-a dzieli f(b), tylko zastanawiam się jak...

[patry93]

Być może przyda się twierdzenie: \(\displaystyle{ a-b|f(a)-f(b)}\), lecz na tę chwilę nie widzę jak by to zastosować
Taki szybki wniosek tylko, że skoro powyższe zachodzi i miałoby być \(\displaystyle{ a-b|f(b)}\), to musi też zajść \(\displaystyle{ a-b|f(a)}\). Natomiast po podstawieniu tego jako \(\displaystyle{ a-b=xf(a)=yf(b)}\) do wyjściowego równania wyjdzie \(\displaystyle{ (1+xy)f(a)f(b)=0}\) i przy założeniu, że wartości \(\displaystyle{ f(a) \ i \ f(b)}\) nie są równe 0, to x i y są jedynkami z różnymi znakami. Ale... to chyba nijak nie prowadzi do odpowiedzi na pytanie