wielomian 3 - go stopnia i pierwiastki całkowite

[Nex Vaclav Friedrich]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=ax ^{3}+bx ^{2}+cx+d}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in C}\). Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ f(0)}\) i \(\displaystyle{ f(1)}\) są liczbami nieparzystymi, to równanie f(x)=0 nie ma pierwiastków całkowitych.

[mkb]

Z podanych warunków wynika, że d jest nieparzyste (=f(0)) i suma a+b+c jest parzysta (=f(1)-d)). Także albo tylko jedna z liczb {a, b, c} jest parzysta, albo wszystkie są parzyste, jeżeli ich suma ma być parzysta.
Rozpatrzmy możliwe przypadki. Podstawiając za x liczbę:
a) parzystą: dostajemy f(x) nieparzyste (ze względu na d),
b1) nieparzystą, gdy jedna z liczb {a, b, c} jest parzysta: dostajemy f(x) nieparzyste (wyrazy z x będą: jeden parzysty przy parzystym współczynniku, dwa nieparzyste przy nieparzystych i nieparzyste d),
b2) nieparzystą, gdy wszystkie liczby {a, b, c} są parzyste: dostajemy f(x) nieparzyste (ze względu na nieparzyste d, pozostałe wyrazy parzyste).

Dla żadnej z liczb całkowitych wielomian nie przyjmie wartości parzystej a to jest wymagane aby była pierwiastkiem (0 jest parzyste).-- 26 lis 2009, o 09:58 --Można też prościej i ogólniej:
Łatwo wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ a, b, k}\) całkowite, \(\displaystyle{ n}\) naturalne, to zachowana jest parzystość \(\displaystyle{ P(a \cdot b ^{n})=P(a \cdot (b+2k) ^{n})}\).
W rezultacie też dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) o współczynnikach całkowitych zachodzi:
\(\displaystyle{ P(W(b))=P(W(b+2 \cdot k))}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem całkowitym takiego wielomianu (\(\displaystyle{ W(a)=0)}\)), to dla dowolnego \(\displaystyle{ x=a+2 \cdot k}\) \(\displaystyle{ W(x)}\) jest takze parzyste. Można sformułować:

Jeżeli \(\displaystyle{ W(x)}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, dowolnego stopnia, i dla pewnej parzystej (nieparzystej) liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(a)}\) jest nieparzysta, to wielomian ten nie ma miejsca zerowego będącego liczbą całkowitą parzystą (nieparzystą).

Warunki \(\displaystyle{ f(0), f(1)}\) nieparzyste wykluczają więc istnienie całkowitego pierwiastka dla dowolnego wielomianu (o współczynnikach całkowitych).