wykazać że wielomian nie ma pierwiastków

[szaajo]

witam;)
mam zadań o poleceniu: rozwiązać nierówność wielomianową:

\(\displaystyle{ 4x ^{4} + 28x ^{3} + 33x ^{2} -56x + 16 < 0}\)

odpowiedzi wskazują że \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru pustego.
chciałbym wiedzieć jak mogę dojść do takiej odpowiedzi, tzn wykazać ze ta nierowność nie ma rozwiązań. wiem, że pierwiastków szuka się wśród wspólnych dzielników wyrazu wolnego i współczynnika przy najwyższej potędze, jednak zastanawiam się czy może jest jakaś inna metoda.

[matshadow]

\(\displaystyle{ W(x)=4x ^{4} + 28x ^{3} + 33x ^{2} -56x + 16}\)
Z Twierdzenia Bezout \(\displaystyle{ W(-4)=0 \Rightarrow x+4|W(x)}\)
Po schemacie Hornera:
\(\displaystyle{ W(x)=(x+4)(4x^3+12x^2-15x+4)\\G(x)=(4x^3+12x^2-15x+4)}\)
Z Twierdzenia Bezout \(\displaystyle{ G(\frac{1}{2})=0 \Rightarrow x-\frac{1}{2}|G(x)}\)
Po schemacie Hornera:
\(\displaystyle{ W(x)=(x+4)(x-\frac{1}{2})(4x^2+14x-8)\\H(x)=(4x^2+14x-8)}\)
Po obliczeniu delty i rozkładzie na pierwiastki otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ W(x)=(x+4)^2(x-\frac{1}{2})^2}\)
Czyli wartość W(x) dla każdego x jest nieujemna, czyli zbiór rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ W(x)<0}\) jest \(\displaystyle{ x\in\o}\)

[Nex Vaclav Friedrich]

\(\displaystyle{ 4x ^{4}+28x ^{3}+33x ^{2} -56x+16=0}\) dzielimy stronami przez x^{2}

\(\displaystyle{ 4x ^{2}+28x+33-56x ^{-1}+16x ^{-2}=0}\)

\(\displaystyle{ 4(x ^{2}+4x ^{-2})+28(x-2x ^{-1})+33=0}\)

\(\displaystyle{ t=x-2x ^{-1}}\)

\(\displaystyle{ t ^{2}=x ^{2}-4+4x ^{-2} \Rightarrow x ^{2}+4x ^{-2}=t ^{2}+4}\)

\(\displaystyle{ 4(t ^{2}+4)+28t+33=0}\)

\(\displaystyle{ 4t ^{2}+28t+49=0}\)
po wyliczeniu delty i miejsca zerowego wychodzi:
\(\displaystyle{ t=- \frac{7}{2}}\)
\(\displaystyle{ x- \frac{2}{x}=- \frac{7}{2}}\)
po wyliczeniu wychodzi:
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2} \vee x=-4}\)
po podzieleniu (najlepiej schemat Hornera) naszego wielomianu daje:
\(\displaystyle{ (x+4)(x- \frac{1}{2})(4x ^{2}+14x-8)=0}\)
\(\displaystyle{ 2(x+4)(x- \frac{1}{2})(2x ^{2}+7x-4)=0}\)
\(\displaystyle{ 4(x+4) ^{2}(x- \frac{1}{2} ) ^{2}=0}\)
dalej dasz radę.