wielomiany symetryczne

[dodzia_88]

Witam, zaczynam swoją przygodę z pracą i jak to chyba już bywa zaraz na początku w oczywistych rzeczach pojawiają się kłopoty z zapisem tych "oczywistych rzeczy"

Na razie mam dwa takie problemy i pomoc byłaby mile widziana:

1)
Niech \(\displaystyle{ R[x _{1},x _{2},...,x _{n}]}\) będzie pierścieniem wielomianów \(\displaystyle{ n}\) zmiennych nad pierścieniem \(\displaystyle{ R}\) i niech \(\displaystyle{ f \in R[x _{1},x _{2},...,x _{n}]}\). Rozpatrzmy zbiór \(\displaystyle{ G(f)}\) określony w następujący sposób:

\(\displaystyle{ G(f)=}\){\(\displaystyle{ \sigma \in S _{n}: f(x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n))}=f(x _{1},...,x _{n})}\)}

ŁATWO ZAUWAŻYĆ, ŻE JEŚLI \(\displaystyle{ \sigma, \tau \in G(f)}\) to \(\displaystyle{ \tau\sigma \in G(f)}\), a więc \(\displaystyle{ G(f)<S _{n}}\)


jak łatwo zauważyć?
Jak to zapisać?

2)


Wielomian \(\displaystyle{ f \in R[x _{1},x _{2},...,x _{n}]}\) nazywa się wielomianem symetrycznym \(\displaystyle{ n}\) zmiennych, jeśli \(\displaystyle{ G(f)=S _{n}}\).

Wielomiany

\(\displaystyle{ \sigma _{1} =x _{1}+x _{2}+...+x _{n}= \sum_{i=1}^{n} x _{i} \\
\sigma _{2} =x _{1}x _{2}+x _{1}x _{3}+...+x _{n-1}x _{n}=\sum_{i<j}^{} x _{i}x _{j} \\
\sigma _{3} =x _{1}x _{2}x _{3}+x _{1}x _{2}x _{4}+...+x _{n-2}x _{n-1}x _{n}=\sum_{i<j<k}^{} x _{i}x _{j}x _{k} \\

..................................................\\

\sigma_{n}=x _{1} x _{2}... x _{n}}\)


są - JAK ŁATWO SPRAWDZIĆ- wielomianami symetrycznymi. Nazywają się one wielomianami symetrycznymi podstawowymi \(\displaystyle{ n}\) zmiennych.


Jak łatwo sprawdzić? chyba za daleko szukam rozwiązania

[xiikzodz]

To faktycznie nie wymaga dodatkowego zapisu i wyjaśnień. Spróbujmy jednak:

1. Niech \(\displaystyle{ y_i=\sigma(x_i)}\) (zabieg ilustracyjny). Wtedy:

\(\displaystyle{ \sigma\in G(f) \Rightarrow f(x_1,\ldots,x_n)=f(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})= f(y_1,\ldots,y_n)}\)

\(\displaystyle{ \tau\in G(f) \Rightarrow f(y_1,\ldots,y_n)=f(y_{\tau(1)},\ldots,y_{\tau(n)})= f(x_{\tau\sigma(1)},\ldots,x_{\tau\sigma(n)})}\)

2. k-ty wielomian z listy jest sumą wszystkich możliwych jednomianów będących iloczynami k różnych zmiennych. Po zastosowaniu dowolnej permutacji zbioru zmiennych zmieni się kolejność jednomianów będących składnikami wyrażenia, lecz nie wpłynie to na sumę, czyli na określenie, o który wielomian chodzi.

[dodzia_88]

ok chyba wszystko jasne tylko jeszcze jedno, bo zostało wyjaśnione że
\(\displaystyle{ \sigma, \tau \in G(f)}\) to \(\displaystyle{ \tau\sigma \in G(f)}\)

to dlaczego jeszcze \(\displaystyle{ G(f)<S _{n}}\)

[xiikzodz]

To z definicji. Dla wielomianu \(\displaystyle{ f}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) zbiór \(\displaystyle{ G(f)}\) to zbiór takich elementów \(\displaystyle{ S_n}\), które nie ruszają \(\displaystyle{ f}\).