Udowodnij ze funkcja przyjmuje wartosci nie mniejsze od 3

[HBFS]

Uzasadnij ze funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x^2 + \frac{2}{x}}\) przyjmuje dla dodatnich argumentow wartosci nie mniejsze od 3.

[Przemas O'Black]

Załóżmy nie wprost, że istnieje dodatnie x, dla którego f(x) < 3.
Wtedy \(\displaystyle{ x ^{2} + \frac{2}{x} < 3}\)
x jest dodatnie, więc bez zmiany znaku możemy obie strony nierówności przemnożyć przez x.
Zatem równoważnie załóżmy nie wprost, że istnieje dodatnie x, takie że \(\displaystyle{ x ^{3} + 2 < 3x \Leftrightarrow (x-1) ^{2} * (x+2) < 0}\). Sprzeczność.

Wniosek: nie istnieje dodatnich x, dla którego f(x) < 3.
Dla wszystkich dodatnich x zachodzi nierówność \(\displaystyle{ f(x) \ge 3}\)