Równania + pierwiastek wielomianu i jego krotność

akustycznie · Post autor: **akustycznie** » 21 lis 2009, o 21:40

Witam! Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań:

1.) Rozwiąż równanie:

a) \(\displaystyle{ (5x – 2)(x + 7)(4 – \frac{1}{3} x) = 0}\)
b) \(\displaystyle{ 5x^{5} – 21x^{4} – 20x^{3} = 0}\)
c) \(\displaystyle{ 2x^{4} – 11x^{2} – 21 = 0}\)
d) \(\displaystyle{ 5x^{3} – 4x^{2} + 45x – 36 = 0}\)

2) Znajdź pierwiastki podanego wielomianu i ustal ich krotności:
a) \(\displaystyle{ x^{5}(x – 3)(x + 11)^{2}(2x + 4)^{5}}\)
b) \(\displaystyle{ (x^{2} – 3x + 2)(–2x^{2} + 3x + 2)(–2x^{2} + x + 1)}\)
c) \(\displaystyle{ (x^{5} – 4x^{3} + 8x^{2} – 32)(x^{3} – 2x^{2})}\)

Z góry dziękuję

miki999 · Post autor: **miki999** » 21 lis 2009, o 21:42

a) \(\displaystyle{ (5x – 2)(x + 7)(4 – \frac{1}{3} x) = 0}\)

Kiedy iloczyn trzech wyrazów: \(\displaystyle{ a \cdot b \cdot c}\) jest równy \(\displaystyle{ 0}\)?

akustycznie · Post autor: **akustycznie** » 21 lis 2009, o 21:46

Przepraszam, ale to mój pierwszy post i nie dopatrzyłem, że trzeba użyć tagów tex. No właśnie ni w ząb, nic z tego nie rozumiem. Muszę jutro to oddać, bo jest to moja praca semestralna, o której dowiedziałem się dopiero dzisiaj. Z matematyki radzę sobie całkiem nieźle, ale właśnie na tych zajęciach mnie nie było i nic z tego nie rozumiem...

Iloczyn \(\displaystyle{ a \cdot b \cdot c = 0 \Leftrightarrow a = 0 \vee b = 0 \vee c = 0}\)

miki999 · Post autor: **miki999** » 21 lis 2009, o 21:56

Jakby nie patrzeć masz właśnie taką sytuację.
Podstaw sobie:
\(\displaystyle{ a=5x-2 \\ b=x+7 \\ c=4- \frac{1}{3}x}\)

akustycznie · Post autor: **akustycznie** » 21 lis 2009, o 22:06

Przepraszam, ale w zasadzie już nie kontaktuję. 3 godziny temu wróciłem ze szkoły, godzinę temu dostałem te zadania na maila. Rozwiązałem 3 i stoję właśnie na tych dwóch ostatnich. Wiem, że może to zabrzmi dość niestosownie, ale czy mógłbyś mi to rozwiązać? Byłbym naprawdę niezmiernie wdzięczny, bo z tego co rozumiem to rozwiązanie ma być takie, że mam to wymnożyć i znaleźć x?

miki999 · Post autor: **miki999** » 21 lis 2009, o 22:13

Byłbym naprawdę niezmiernie wdzięczny, bo z tego co rozumiem to rozwiązanie ma być takie, że mam to wymnożyć i znaleźć x?

Nie. Masz podany iloczyn trzech wyrażeń. W dodatku sam stwierdziłeś, że:
\(\displaystyle{ a \cdot b \cdot c = 0 \Leftrightarrow a = 0 \vee b = 0 \vee c = 0}\)

i wiesz:
\(\displaystyle{ a=5x-2 \\ b=x+7 \\ c=4- \frac{1}{3}x}\)

Przykładowo sprawdź co się dzieje dla \(\displaystyle{ x=-7}\) i postaraj się wysunąć jakieś wnioski.

akustycznie · Post autor: **akustycznie** » 21 lis 2009, o 22:24

Jeśli podstawię -7 do b, czyli x+7 to wyjdzie zero.
Tak samo, jeśli podstawię \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\) do a, czyli 5x-2, to też wyjdzie zero.
Tak samo z c, jeśli podstawę 12 zamiast x.

W takim razie jak ma wyglądać to działanie?
Coś czuję, że nie zrobię tych zadań do jutra...

Aha! Czyli rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ x=-7 \vee x=\frac{2}{5} \vee x=12}\)?-- 22 listopada 2009, 09:36 --To jak, pomoże mi ktoś? Termin przesunął mi się do dziś wieczór, na maila mam wysłać.

miki999 · Post autor: **miki999** » 22 lis 2009, o 10:02

Aha! Czyli rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ x=-7 \vee x=\frac{2}{5} \vee x=12}\)?

Tak.

Pozostałe wyrażenia również masz zamienić na iloczyn kilku składników, abyś był w stanie wyznaczyć rozwiązania. Przykładowo w b) możesz wyłączyć \(\displaystyle{ x^3}\) przed nawias.

akustycznie · Post autor: **akustycznie** » 22 lis 2009, o 10:43

Bardzo Cię proszę, mógłbyś mi rozwiązać te zadania? Tobie pewnie zajmie
to kilka minut, a ja głowiłem się nad tym całą noc i po prostu już wysiadam. Dziękuję bardzo za wskazówki, ale zanim dojdę w każdym przykładzie o co chodzi, to nie zdążę tego wysłać na umówiony czas. Nie jestem leniem i nie liczę "na drapane", po prostu nie potrafię tego pojąć. Mogę obiecać, że dokładnie przeanalizuję rozwiązania i postaram się wyciągnąć z nich wnioski.

G.BEST7 · Post autor: **G.BEST7** » 22 lis 2009, o 11:57

b)Wyciągasz \(\displaystyle{ x^{3}}\) przed nawias jeden pierwiastek to właśnie z \(\displaystyle{ x^{3}}\), czyli zero, z tego co w nawiasie liczysz deltę i wyznaczasz kolejne rozwiązania, bądź ich brak gdy delta<0
c) metodą podstawiania za \(\displaystyle{ x^{2} =t}\) i rozwiązujesz jak równanie kwadratowe, po wyznaczeniu rozwiązań wracasz do tego co na początku, czyli \(\displaystyle{ x^{2} =t}\) i podstawiasz za t rozwiązania.
d) rozkładasz na czynniki \(\displaystyle{ x^{2} \left(5x-4 \right)+9 \left(5x-4) \right)= \left(5x-4 \right) \left(x^{2}+9 \right)}\)dalej by wyznaczyć rozwiązania postępujesz tak jak tłumaczył Ci kolega wyżej.

Zad.2
a) Krotność pierwiastka to potęga do której został wzięty poszczególny nawias, pierwiastek to rozwiązania poszczególnych nawiasów, czyli przyrównanie każdego nawiasu do zera.
W b i c pokombinuj porozkładaj trochę na czynniki to powyznaczasz pierwiastki i ich krotności i tak masz już połowę rozwiązaną, niech mobilizacją dla Ciebie będzie to, że czeka Cię obowiązkowa matura z matmy.
W życiu nie ma łatwo.