Równanie i nierówność wielomianowa z parametrem

[kulbik91]

proszę o rozwiązanie dwóch przykładów:
1.dla jakich wartości param. m ponizsze równanie ma 4 różne rozwiązania?
\(\displaystyle{ x^{4}-6x^{2}+m=0}\)

2.dla jakich wartości param. k poniższa nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x?
\(\displaystyle{ x^{4}+kx^{2}+1>0}\)

[mat_61]

W obydwu równaniach zrób podstawienie:

\(\displaystyle{ x^{2} =t}\)

1) żeby równanie f(x)=0 miało 4 różne rozwiązania, to równanie f(t)=t musi mieć 2 różne rozwiązania.

2) żeby nierówność f(x)>0 była prawdziwa dla wszystkich x, to f(t) nie może mieć pierwiastków nieujemnych

[tometomek91]

1) Tak, podstaw \(\displaystyle{ x^{2}=t}\), ale nie zapomnij, że \(\displaystyle{ t>0}\)!
Wtedy wielomian \(\displaystyle{ f(t)}\), owszem musi mieć dwa różne rozwiązania, ale muszą być one dodatnie.
2) \(\displaystyle{ \Delta<0 \vee \begin{cases} \Delta \ge 0 \\ t_{1}t_{2}>0 \\ t_{1}+t_{2}<0 \end{cases}}\)