znajdź rzeczywisty wielomian.

[madaf007]

Nie wiem jak zabrać się za to zadanie:
Znajdź rzeczywisty wielomian W(x) stopnia 9, ze współczynnikiem 1 przy najwyższej potędze, taki że W(1)=16 i którego jedynymi pierwiastkami są liczby 0,-1,i,-i. Ponadto, zakładamy, że pierwiastki i, -i są pierwiastkami jednokrotnymi wielomianu W(x). Czemu równa się współczynnik przy \(\displaystyle{ x^8}\)? Odpowiedz na to pytanie bez obliczania wszystkich współczynników wielomianu W(x).

Proszę o pomoc.

[BettyBoo]

Ze względu na dane o pierwiastkach wielomian ma postać: \(\displaystyle{ W(x)=x^a(x+1)^b(x+i)(x-i)=x^a(x+1)^b(x^2+1)}\), przy czym \(\displaystyle{ a+b=7, a,b\ge 1}\)

No to dalej, skoro \(\displaystyle{ W(1)=16}\), to \(\displaystyle{ 1^a2^b2=16\ \Rightarrow \ b=3\ \Rightarrow \ a=4}\), więc postać wielomianu W już masz.

Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^8}\) jest liczbą przeciwną do sumy pierwiastków tego wielomianu (co wynika ze wzorów Viete'a), a więc skoro znasz pierwiastki, to łatwo go podać.

Pozdrawiam.