Mam następujące dwa zadania, prosiłbym o wskazówki:
1) Niech \(\displaystyle{ u(x) = (x+1-i)(x+2i)}\). Jak wybrać możliwie niskiego stopnia wielomian \(\displaystyle{ v(x)}\)
tak, żeby wielomian \(\displaystyle{ w(x) = u(x)v(x)}\) miał wszystkie pierwiastki rzeczywiste.
2) Niech \(\displaystyle{ u(x) = (x-i)(x-1+i)}\). Podaj wielomian rzeczywisty \(\displaystyle{ w(x)}\) mozłiwie niskiego stopnia tak żeby wielomian \(\displaystyle{ u(x)}\) dzielił go bez reszty.
Wielomian z pierwiastkami zespolonymi.
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
Wielomian z pierwiastkami zespolonymi.
To test na zrozumienie własności wielomianu?
W 1) nic nie poradzisz. u(x) ma dwa pierwiastki zespolone i pomnożenie przez dowolny wielomian sprawi, że w(x) zyska dodatkowe pierwiastki z v(x).
W 2) masz wielomian zapisany jako iloczyn wielomianów pierwszego stopnia. Tylko one dzielą u(x) bez reszty (tw. Bezout).
W 1) nic nie poradzisz. u(x) ma dwa pierwiastki zespolone i pomnożenie przez dowolny wielomian sprawi, że w(x) zyska dodatkowe pierwiastki z v(x).
W 2) masz wielomian zapisany jako iloczyn wielomianów pierwszego stopnia. Tylko one dzielą u(x) bez reszty (tw. Bezout).
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 7 lis 2009, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 25 razy
Wielomian z pierwiastkami zespolonymi.
1) Ale ten wielomian ma mieć pierwiastki rzeczywiste, nie zespolone, wiec nie moge sobie przemnozyc przez cokolwiek.
2) To juz sam rozwiazalem, nie miałeś racji, każdy wielomian o pierwiastkach zespolonych, ma pierwiastki sprzężone do nich zatem \(\displaystyle{ u(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ w(x) = (x-i)(x+i)(x -(1-i))(x-(1+i)) = (x^{2} + 1)(x^2 - x + 1)}\)
2) To juz sam rozwiazalem, nie miałeś racji, każdy wielomian o pierwiastkach zespolonych, ma pierwiastki sprzężone do nich zatem \(\displaystyle{ u(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ w(x) = (x-i)(x+i)(x -(1-i))(x-(1+i)) = (x^{2} + 1)(x^2 - x + 1)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
Wielomian z pierwiastkami zespolonymi.
Możesz pomnożyć u(x) przez cokolwiek, ale jeżeli mnożysz przez inny wielomian, to w iloczynie nie pozbędziesz się pierwiastków wielomianu u(x). Te są i pozostaną zespolone.