Wielomian z pierwiastkami zespolonymi.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Elo-Rap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 7 lis 2009, o 11:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 25 razy

Wielomian z pierwiastkami zespolonymi.

Post autor: Elo-Rap »

Mam następujące dwa zadania, prosiłbym o wskazówki:

1) Niech \(\displaystyle{ u(x) = (x+1-i)(x+2i)}\). Jak wybrać możliwie niskiego stopnia wielomian \(\displaystyle{ v(x)}\)
tak, żeby wielomian \(\displaystyle{ w(x) = u(x)v(x)}\) miał wszystkie pierwiastki rzeczywiste.

2) Niech \(\displaystyle{ u(x) = (x-i)(x-1+i)}\). Podaj wielomian rzeczywisty \(\displaystyle{ w(x)}\) mozłiwie niskiego stopnia tak żeby wielomian \(\displaystyle{ u(x)}\) dzielił go bez reszty.
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Wielomian z pierwiastkami zespolonymi.

Post autor: mkb »

To test na zrozumienie własności wielomianu?
W 1) nic nie poradzisz. u(x) ma dwa pierwiastki zespolone i pomnożenie przez dowolny wielomian sprawi, że w(x) zyska dodatkowe pierwiastki z v(x).
W 2) masz wielomian zapisany jako iloczyn wielomianów pierwszego stopnia. Tylko one dzielą u(x) bez reszty (tw. Bezout).
Elo-Rap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 7 lis 2009, o 11:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 25 razy

Wielomian z pierwiastkami zespolonymi.

Post autor: Elo-Rap »

1) Ale ten wielomian ma mieć pierwiastki rzeczywiste, nie zespolone, wiec nie moge sobie przemnozyc przez cokolwiek.

2) To juz sam rozwiazalem, nie miałeś racji, każdy wielomian o pierwiastkach zespolonych, ma pierwiastki sprzężone do nich zatem \(\displaystyle{ u(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ w(x) = (x-i)(x+i)(x -(1-i))(x-(1+i)) = (x^{2} + 1)(x^2 - x + 1)}\)
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Wielomian z pierwiastkami zespolonymi.

Post autor: mkb »

Możesz pomnożyć u(x) przez cokolwiek, ale jeżeli mnożysz przez inny wielomian, to w iloczynie nie pozbędziesz się pierwiastków wielomianu u(x). Te są i pozostaną zespolone.
Elo-Rap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 7 lis 2009, o 11:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 25 razy

Wielomian z pierwiastkami zespolonymi.

Post autor: Elo-Rap »

Też własnie tak myślę, wyglądałoby na błąd w treści zadania 1) :/
ODPOWIEDZ