mam problem z takim zadaniem:
Niech U(x)=(x-a)(x-b), gdzie a i b są rzeczywiste. Jak wyznaczyć współczynniki reszty z dzielenia dowolnego wielomianu W(x) przez wielomian U(x) bez wykonywania dzielenia wielomianów?
To jakoś Hornerem można czy jak? no ale piszę bez wykonywania dzielenia. Proszę o pomoc.
Reszta z dzielenia, współczynniki.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Reszta z dzielenia, współczynniki.
Reszta z dzielenia dowolnego wielomianu przez wielomian stopnia drugiego jest wielomianem stopnia co najwyżej stopnia pierwszego. Zatem dla pewnych \(\displaystyle{ p,q}\) jest:
\(\displaystyle{ W(x)= (x-a)(x-b)\cdot V(x) + px +q}\)
Wstawiając do tej równości kolejno \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) otrzymamy:
\(\displaystyle{ W(a)= pa+q \\
W(b) = pb + q}\)
Ponieważ wielomian \(\displaystyle{ W}\) jest dany, to znamy w szczególności jego wartości w punktach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Stąd powyższe dwa równania tworzą układ dwóch równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ p,q}\). Jeśli \(\displaystyle{ a\neq b}\), to jak łatwo sprawdzić jego rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ p= \frac{W(a)-W(b)}{a-b} \\
q= \frac{aW(b)-bW(a)}{a-b}}\)
Zatem szukana reszta to:
\(\displaystyle{ R(x) = px+q = \frac{W(a)-W(b)}{a-b} \cdot x + \frac{aW(b)-bW(a)}{a-b}}\)
Q.
\(\displaystyle{ W(x)= (x-a)(x-b)\cdot V(x) + px +q}\)
Wstawiając do tej równości kolejno \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) otrzymamy:
\(\displaystyle{ W(a)= pa+q \\
W(b) = pb + q}\)
Ponieważ wielomian \(\displaystyle{ W}\) jest dany, to znamy w szczególności jego wartości w punktach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Stąd powyższe dwa równania tworzą układ dwóch równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ p,q}\). Jeśli \(\displaystyle{ a\neq b}\), to jak łatwo sprawdzić jego rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ p= \frac{W(a)-W(b)}{a-b} \\
q= \frac{aW(b)-bW(a)}{a-b}}\)
Zatem szukana reszta to:
\(\displaystyle{ R(x) = px+q = \frac{W(a)-W(b)}{a-b} \cdot x + \frac{aW(b)-bW(a)}{a-b}}\)
Q.