Sprawdź, czy dobrze

Reaper · Post autor: **Reaper** » 23 maja 2006, o 14:48

Chciałbym dowiedzieć się, czy takie rozwiązanie można uznać.
Najpier treść zadania:
Udowodnij, że jeżeli wielomian W o współczynikach całkowitych przymuje dla czterech argumentów czałkowitych wartpść 1, to dla żadnego argumentu nie przyjmuje wartości -1.
Oto moje rozwiązanie.
\(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}\) są czterema różnymi argumentami całkowitymi, dla których funkcja przyjmue wartość 1.
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})+1}\)
\(\displaystyle{ (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0}\)
aby W(x)=-1
\(\displaystyle{ (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=-2}\)
Mamy iloczyn czterech różnych liczb całkowitych, przyjmijmy, że są to liczby a,b,c,d. Żadna z nich nie jest równa 0, gdyż nie da to poszukiwanego iloczynu.Najbliższa wartość iloczynu do poszukiwanej równa jest: a=1 b=-1 c=2 d=3
abcd=-6
Tak więc iloczyn \(\displaystyle{ (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=-2}\) jest niemożliwy

Wiem, że mógłbym jakoś lepiej sformułować koniec, ale nie jestem pewien jak. Może możnaby już skończyć na "iloczyn 4 liczb całkowitych nie może być równy -2" i uznać to za oczywiste?

juzef · Post autor: **juzef** » 23 maja 2006, o 15:02

Raczej iloczyn czterech różnych liczb całkowitych nie może być równy -2. Moim zdaniem to jest oczywiste, ale można to udowodnić, w razie gdyby sprawdzający był upierdliwy. Załóżmy, że abcd=-2. Liczby a,b,c,d są parami różne i każda z nich jest dzielnikiem liczby -2. Ale liczba -2 ma tylko 4 dzielniki całkowite, więc te 4 liczby muszą być równe -2, -1, 1, 2 z dokładnością do permutacji. Sprzeczność, bo -2=abcd=(-2)*(-1)*1*2=4.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 23 maja 2006, o 22:45

Reaper, a skąd wiadomo, że stopień wielomianu W wznosi 4? Czytam, czytam, ale jakoś tego w treści zadania nie widzę...

juzef · Post autor: **juzef** » 24 maja 2006, o 06:35

Racja, nie zwróciłem uwagi. Rozwiązania to nie zmienia, ale napisać trzeba.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 24 maja 2006, o 11:47

Jak najbardziej juzef, rozwiązanie podane przez Ciebie pasuje do wielomianów wyższych stopni (po prostu wypisane cztery czynniki mnożymy jeszcze przez dodatkowy wielomian, również o współczynnikach całkowitych...).
No i pozostaje stwierdzić, że również wielomian stopnia 0, czyli stały, może spełniać własność (tzn. dla czterech liczb przyjmować wartość 1), ale wówczas z oczywistych powodów nie może przyjąć nigdzie wartości -1.

Pozdrawiam....

Reaper · Post autor: **Reaper** » 24 maja 2006, o 16:16

Dzięki, poprawię.