wyznaczenie funkcji odwrotnej

lofi · Post autor: **lofi** » 14 lis 2009, o 14:52

pytanie, czy wyznaczając funkcję odwrotną do danej może zmienić się jej dziedzina?
Na przykład funkcja odwrotna do \(\displaystyle{ f(x)=x^3+1}\) będzie miała inną dziedzinę niż zbiór wartości funkcji f(x).

Lukasz_C747 · Post autor: **Lukasz_C747** » 14 lis 2009, o 15:01

Dziedziną funkcji odwrotnej będzie przeciwdziedzina funkcji, którą odwracamy. Np. funkcja logarytm jest określona tylko na półosi dodatniej, ale już funkcja odwrotna - eksponenta, na całej osi. Zatem lepiej nie mówić o zmianie dziedziny, a ją określać od nowa.

lofi · Post autor: **lofi** » 14 lis 2009, o 15:26

ok, ale czy dla \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\) istnieje funkcja odwrotna?
jeżeli \(\displaystyle{ g(x)=\sqrt[3]{x}}\) byłaby funkcją odwrotną do f(x) to wtedy nie rozumiem dlaczego skoro przecież zbiór wartości f(x) nie jest dziedziną funkcji g(x) dlatego że wyrażenie od pierwiastkiem nie może być mniejsze od 0.

Bierut · Post autor: **Bierut** » 14 lis 2009, o 15:33

Wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego nie może być mniejsze od 0. Jeśli masz pierwiastek stopnia trzeciego, to może być liczba ujemna. Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ g(x)=\sqrt[3]{x}}\) jest zbiór liczb rzeczywistych.

Lukasz_C747 · Post autor: **Lukasz_C747** » 14 lis 2009, o 15:35

Dla nieparzystych stopni pierwiastka mamy jednoznaczność co do znaku otrzymanego w wyniku i można brać liczby mniejsze od zera.
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8} = -2\\ \sqrt[3]{-8} \neq 2}\)