wyznacz pierwiastki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
basilio2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 12 lis 2009, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: szczecin

wyznacz pierwiastki

Post autor: basilio2 »

\(\displaystyle{ x ^{3} +2x ^{2} -5x-6}\)
probowalem dzielic przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) ale wychodzi mi reszta \(\displaystyle{ -8}\) i nie wiem moze ktos sprawdzic a mam aznalezc pierwiastki i zapisac w postaci iloczynowej i utknalem
Ostatnio zmieniony 13 lis 2009, o 23:41 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: To już kolejny post, który ktos musi po Tobie poprawiać. Cały kod LaTeX-a umieszczaj w tagach [latex]. Następny taki temat może wylądowac w koszu. Pozdrawiam.
maise
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1327
Rejestracja: 25 maja 2008, o 15:36
Płeć: Kobieta
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 335 razy

wyznacz pierwiastki

Post autor: maise »

podziel przez \(\displaystyle{ (x+1)}\)
basilio2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 12 lis 2009, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: szczecin

wyznacz pierwiastki

Post autor: basilio2 »

maise pisze:podziel przez \(\displaystyle{ (x+1)}\)
ale dlaczego przez (x+1) a nie (x-1)?? wyliczylem ze tylko wartosc -1 daje zero wiec powinno byc wedlug mnie x-1. moze mi to ktos wyjasnic??
po za tym podzielilem i wyszlo mi \(\displaystyle{ x^{2}+x-6}\) a mialem wyznaczyc pierwiastki wiec mysle ze z delty mam to zrobic. i zapisac w postaci iloczynowej czyli jak??
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

wyznacz pierwiastki

Post autor: mat_61 »

basilio2 pisze:
maise pisze:podziel przez \(\displaystyle{ (x+1)}\)
ale dlaczego przez (x+1) a nie (x-1)?? wyliczylem ze tylko wartosc -1 daje zero wiec powinno byc wedlug mnie x-1. moze mi to ktos wyjasnic??
Dlatego, że zgodnie z tw. Bezouta liczba a jest miejscem zerowym wielomianu jeżeli dzieli się ona przez dwumian (x-a). Jeżeli w tym przypadku miejscem zerowym jest a=(-1) to powinieneś podzielić wielomain przez (x-(-1))=(x+1)

Oczywiście dwa pozostałe pierwiastki z równania kwadratowego obliczasz standardowo tzn. wyróżnik (delta) itd.
basilio2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 12 lis 2009, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: szczecin

wyznacz pierwiastki

Post autor: basilio2 »

no tak wszystko jasne po za tym ze nie wiem jak znalezc liczbe przez ktora trzeba wielomian podzielic, czy trzeba po kolei dzielic i tak dlugo szukac az wyjdzie zero czy jest jakis szybszy sposob, boz tego twierdzenia Bezouta niebardzo rozumiem gdzie sa miejsca zerowe
Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 686
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

wyznacz pierwiastki

Post autor: Bierut »

Możesz szukać rozwiązań w dzielnikach wyrazu wolnego. Jeśli wielomian ma jakiś pierwiastek, będący liczbą całkowitą, to będzie on właśnie jednym z dzielników wyrazu wolnego. W przypadku twojego równania, wyraz wolny to -6, więc kandydatami na miejsca zerowe są: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Wśród liczb wymiernych już żadna inna liczba nie może być rozwiązaniem.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

wyznacz pierwiastki

Post autor: mat_61 »

Wielomiany 3-go stopnia można rozwiązywać korzystając z gotowych wzorów (jak dla równań kwadratowych). Nie ma tego w programie szkolnym i dlatego szkolne zadania są najczęściej skonstruowane w ten sposób, że równanie można rozwiązać w inny sposób.

- grupując wyrażenia i wyciągając wspólny czynnik przed nawias
- korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
- szukając pierwiastków całkowitych (tak jest w tym przypadku)

Tw. o pierwiastkach całkowitych wielomianu mówi, że jeżeli wielomian ma takie pierwiastki, to są one dzielnikiem wyrazu wolnego.

Dla tego wielomianu należałoby więc sprawdzić czy pierwiastkami nie są np. liczby 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6. Sam stwierdziłeś, że pierwiastkiem jest liczba (-1). Dzielisz więc ten wielomian przez dwumian (x+1) - przecież masz to wyżej napisane i przeze mnie i przez @basilio2. Po podzieleniu możesz zapisać ten wielomian jako iloczyn (x+1) i wielomianu P(x) otrzymanego z dzielenia. Oczywiście P(x) będzie stopnia drugiego, którego pierwiastki znajdziesz bez problemu.

- szukając pierwiastków wymiernych p/q (twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu)
ODPOWIEDZ