W(x) jest podzielny przez P(x) dla jakich parametrów a, b

[wiktorziolo]

Dla jakich wartości parametrów a, b wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ P(x)}\) jeśli:
1.\(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^3+ax^2-3}\)
\(\displaystyle{ P(x)=x^2-3x+3}\)
2. \(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^3+3x^2-ax+2}\)
\(\displaystyle{ P(x)=x^2-3x+b}\)

[rodzyn7773]

W obu przypadkach wykonaj normalne dzielenie wielomianów traktując a i b jak liczbę. Reszty z dzielenia muszą być równe 0 dla każdego x.
1.

Ukryta treść:    

Reszta z dzielenia: \(\displaystyle{ (3a-3)x+3a-3=0\\(3a-3)(x+1)=0}\)
Teraz szukamy takiego a aby równanie było tożsame:
\(\displaystyle{ 3a-3=0\\a=1}\)

2.

Ukryta treść:    

Reszta z dzielenia: \(\displaystyle{ (9-3b-a)x-3b+b^2+2=0}\)
Aby równanie było tożsame należy rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b^2-3b+2=0 \\ 9-3b-a=0 \end{cases} \\\begin{cases} b^2-3b+2=0 \\ a=9-3b\end{cases}}\)
Rozwiązaniami pierwszego równania są:
\(\displaystyle{ b_1=1 \vee b_2=2}\)
Podstawiamy je do drugiego równania i otrzymujemy dwie pary liczb spełniających warunki zadania:
I.\(\displaystyle{ \begin{cases} b=1 \\ a=6 \end{cases}}\)

II.\(\displaystyle{ \begin{cases}b=2 \\ a=3 \end{cases}}\)