Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian. Oblicz a i b

bartek3107 · Post autor: **bartek3107** » 9 lis 2009, o 19:10

Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} - (a+b)x ^{2} - (a-b)x + 3}\) jest podzielny przez wielomian : \(\displaystyle{ x ^{2} - 4x + 3}\) . Oblicz "\(\displaystyle{ a}\)" i "\(\displaystyle{ b}\)"

klaudiia92 · Post autor: **klaudiia92** » 9 lis 2009, o 19:15

zapisujesz \(\displaystyle{ x^{3}- (a+b) x^{2}-(a-b)x+3= Q(x) (x-1)(x-3)}\)
podstawiasz pod x -1, -3
powstaja 2 równiania , które przyrównujesz do zera (prawa strona sie redukuje)

Cr453r · Post autor: **Cr453r** » 9 lis 2009, o 19:23

Liczysz miejsca zerowe z
\(\displaystyle{ x ^{2}-4x+3}\)
czyli \(\displaystyle{ x_{1}=1 \vee x_{2}=3}\)
następnie W(3) oraz W(1) z W(1) wychodzi a=-4 podstawiasz do W(3) zamiast a -4 i wychodzi b.

a=-4
b=13

bartek3107 · Post autor: **bartek3107** » 12 lis 2009, o 18:10

dzięki. Sposób rozwiązania dobry aczkolwiek oboje popełniliście błąd. Klaudia źle podstawiła a Cr453r źle policzył/a. Winno wyjść a=2 i b=1 (może komuś się przyda). W Liceum może i byłem niedawno ale niektóre sposoby rozwiązań już mi wypadły z głowy;)

Cr453r · Post autor: **Cr453r** » 12 lis 2009, o 19:08

Dobrze wiedzieć nawet wiem gdzie błąd zrobiłem

bartek3107 · Post autor: **bartek3107** » 15 mar 2010, o 12:43

\(\displaystyle{ h=9 ;
r= \frac{1}{3}h= \frac{a \sqrt{3} }{6} ;
9= \frac{3a \sqrt{3} }{6} ;
9=\frac{a \sqrt{3} }{2} ;
18=a \sqrt{3} ;
a= \frac{18}{ \sqrt{3} } ;
a= \frac{18 \sqrt{3} }{3} ;
a=6 \sqrt{3} ;

P _{tr} = \frac{6 \sqrt{3} ^{2}* \sqrt{3} }{4} ;
P _{tr} = \frac{36*3* \sqrt{3} }{4} ;
P _{tr}= 27 \sqrt{3} (j ^{2} )}\)

czarny91 · Post autor: **czarny91** » 22 cze 2010, o 20:01

A czy można to zadanie rozwiązać w inny sposób, np. korzystając z twierdzenia o równości wielomianów? Próbowałem zrobić w ten oto sposób, ale nie wychodziło. Stopień wielomianu W(x) wynosi 3, stopień P(x)= 2, czyli stąd stopień Q(x) = 1= ax+b, a różne od zera. Pomnożyłem to ax + b przez wielomian P(x), próbowałem porównać to z wielomianem W(x), ale już dalej się pogubiłem.

?ntegral · Post autor: **?ntegral** » 22 cze 2010, o 20:31

\(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot Q(x)}\)

\(\displaystyle{ W(x)=x^3-(a+b)x^2-(a-b)x+3}\)

\(\displaystyle{ P(x)=x^2-4x+3}\)

\(\displaystyle{ Q(x)=px+q}\)

\(\displaystyle{ P(x)\cdot Q(x)=(x^2-4x+3)(px+q)=px^3+(q-4p)x^2+(3p-4q)x+3q}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} p=1 \\ q=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -(a+b)=q-4p \\ -(a-b)=3p-4q \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=1 \end{cases}}\)

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 23 cze 2010, o 09:03

czarny91 pisze:A czy można to zadanie rozwiązać w inny sposób, np. korzystając z twierdzenia o równości wielomianów? Próbowałem zrobić w ten oto sposób, ale nie wychodziło. Stopień wielomianu W(x) wynosi 3, stopień P(x)= 2, czyli stąd stopień Q(x) = 1= ax+b, a różne od zera. Pomnożyłem to ax + b przez wielomian P(x), próbowałem porównać to z wielomianem W(x), ale już dalej się pogubiłem.

Nie możesz wprowadzić oznaczeń a i b do Q(x) bo te niewiadome już występują w W(x).
Chyba że potrafisz udowodnić że to te same wartości

czarny91 · Post autor: **czarny91** » 23 cze 2010, o 14:11

Dzięki, ale sposób myślenia miałem dobry ;d