wyznacz miejsca zerowe

[komoreczka]

Hej, mam problem z takim zadaniem, z góry dziekuję za pomoc.

Współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax ^{3} -bx ^{2} -cx+d}\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(\displaystyle{ r}\). Wykaż że jeżeli \(\displaystyle{ ar>0}\), to wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma trzy miejsca zerowe.

[robin5hood]

skoro ma mieć 3 to
\(\displaystyle{ w(x)=(x-a_1)(x-a_1-r)(x-a_1-2r)=ax ^{3} -bx ^{2} -cx+d}\)
rozwiąż układ

[lukasz1804]

Mamy \(\displaystyle{ b=a+r, c=a+2r, d=a+3r}\), więc

\(\displaystyle{ W(x)=ax^3-(a+r)x^2-(a+2r)x+(a+3r)=a(x^3-x^2-x+1)-(rx^2+2rx-3r)=a(x-1)(x^2-1)-r(x^2+2x-3)=a(x-1)^2(x+1)-r(x-1)(x+3)=(x-1)(a(x^2-1)-r(x+3))=(x-1)(ax^2-rx-(a+3r))}\).

Rozważmy powstały trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ g(x)=ax^2-rx-(a+3r)}\).
Ma on dwa różne miejsca zerowe, bowiem \(\displaystyle{ \Delta=(-r)^2-4a\cdot[-(a+3r)]=r^2+4a(a+3r)=r^2+4a^2+12ar>r^2+4a^2>0}\).
Liczba 1 nie jest jego miejscem zerowym, gdyż wobec założenia \(\displaystyle{ ar>0}\) mamy \(\displaystyle{ r\ne 0}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ g(1)=a-r-(a+3r)=-4r\ne 0}\).
Zatem wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma miejsce zerowe \(\displaystyle{ 1}\) oraz dwa inne miejsca zerowe pochodzące od trójmianu \(\displaystyle{ g}\).