Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=(x+1)(x-1)(x-2}\)) wiedzac, ze:
a)
\(\displaystyle{ W(-1)=-1\\
W(1)=1\\
W(2)=2}\)
Wiedzac ze rownianie:
\(\displaystyle{ x^2 + x^3 -7x^2 +ax+b=0}\)
ma rozwiazania: \(\displaystyle{ x=-1 \wedge x=1}\)
rozwiazac \(\displaystyle{ x^4 + x^3 -7x^2 +ax + b>0}\)
thx
(2 zadania) Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
(2 zadania) Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
Zadanie 1:
\(\displaystyle{ W(x) = Q(x) \cdot P(x) + a \cdot x^2 + b \cdot x + c}\)
\(\displaystyle{ a \cdot x^2 +b \cdot x +c}\) jest wlasnie reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\)
\(\displaystyle{ W(1) = Q(1) \cdot P(1) + a + b + c = 1\\
W(-1) = Q(-1) \cdot P(-1) + a - b + c = -1\\
W(2) = Q(2) \cdot P(2) + a \cdot 4 + b \cdot 2 + c = 2\\
P(1) = P(-1) = P(2) = 0}\)
mamy wiec uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a + b + c = 1\\
a - b + c = -1\\
4a + 2b + c = 2\end{cases}}\)
rozwiazujemy, mamy a, b, c
Zadanie 2
analogicznie, wstawiajac do \(\displaystyle{ W(x) = x^2 + x^3 -7x^2 +ax+b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}W(-1) = 0 \\
W(1) = 0\end{cases}}\)
mamy uklad na a i b, rozwiazujemy
Teraz wyliczone \(\displaystyle{ a=-1, b=6}\) wstawiamy do \(\displaystyle{ P(x) = x^4 + x^3 -7x^2 +ax + b}\) i rozwiazujemy nierownosc
\(\displaystyle{ x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6>0}\)
\(\displaystyle{ x^2 = x^4}\) dla \(\displaystyle{ x = 1}\) i dla \(\displaystyle{ x = -1}\), wiec \(\displaystyle{ P(-1) = W(-1) = 0 = W(1) = P(1)}\) i mamy poczatkowy rozklad \(\displaystyle{ P(x)}\):
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x^2 + x -6)>0}\)
teraz delta i dwa pozostale pierwiastki:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x^2 + x -6)>0\\
(x-1)(x+1)(x-2)(x+3)>0}\)
wszystkie pierwiastki jednokrotne, szkicujemy wykres \(\displaystyle{ P(x)}\) i odczytujemy rozwiazanie:
\(\displaystyle{ (x+3)(x+1)(x-1)(x-2)>0}\)
\(\displaystyle{ W(x) = Q(x) \cdot P(x) + a \cdot x^2 + b \cdot x + c}\)
\(\displaystyle{ a \cdot x^2 +b \cdot x +c}\) jest wlasnie reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\)
\(\displaystyle{ W(1) = Q(1) \cdot P(1) + a + b + c = 1\\
W(-1) = Q(-1) \cdot P(-1) + a - b + c = -1\\
W(2) = Q(2) \cdot P(2) + a \cdot 4 + b \cdot 2 + c = 2\\
P(1) = P(-1) = P(2) = 0}\)
mamy wiec uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a + b + c = 1\\
a - b + c = -1\\
4a + 2b + c = 2\end{cases}}\)
rozwiazujemy, mamy a, b, c
Zadanie 2
analogicznie, wstawiajac do \(\displaystyle{ W(x) = x^2 + x^3 -7x^2 +ax+b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}W(-1) = 0 \\
W(1) = 0\end{cases}}\)
mamy uklad na a i b, rozwiazujemy
Teraz wyliczone \(\displaystyle{ a=-1, b=6}\) wstawiamy do \(\displaystyle{ P(x) = x^4 + x^3 -7x^2 +ax + b}\) i rozwiazujemy nierownosc
\(\displaystyle{ x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6>0}\)
\(\displaystyle{ x^2 = x^4}\) dla \(\displaystyle{ x = 1}\) i dla \(\displaystyle{ x = -1}\), wiec \(\displaystyle{ P(-1) = W(-1) = 0 = W(1) = P(1)}\) i mamy poczatkowy rozklad \(\displaystyle{ P(x)}\):
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x^2 + x -6)>0}\)
teraz delta i dwa pozostale pierwiastki:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x^2 + x -6)>0\\
(x-1)(x+1)(x-2)(x+3)>0}\)
wszystkie pierwiastki jednokrotne, szkicujemy wykres \(\displaystyle{ P(x)}\) i odczytujemy rozwiazanie:
\(\displaystyle{ (x+3)(x+1)(x-1)(x-2)>0}\)