Mam problem z rozwiązaniem jednego zadania z wielomianów:
\(\displaystyle{ ( -x + 1 )( x^{2} - 2 ) \ge 0}\)
jaki powininen być zakres i dlaczego?
odp z ksiazki: x należy do \(\displaystyle{ (- \infty ,- \sqrt{2} ) \cup (1, \sqrt{2} )}\)
Nierówność wielomianowa
Nierówność wielomianowa
Ostatnio zmieniony 6 lis 2009, o 13:33 przez czeslaw, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
barakuda
- Użytkownik
- Posty: 1086
- Rejestracja: 22 paź 2009, o 19:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polen
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 306 razy
Nierówność wielomianowa
\(\displaystyle{ (-x+1)(x^2-2) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (-x+1)(x- \sqrt{2})(x+ \sqrt{2} ) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ -x+1=0 \Rightarrow x=1}\)
\(\displaystyle{ x- \sqrt{2}=0 \Rightarrow x= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x+ \sqrt{2} =0 \Rightarrow x=- \sqrt{2}}\)
mamy miejcsa zerowe, więc teraz rysujemy "węża" zaczynając od prawej strony z pod osi przeprowadzamy przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) przechodzimy nad oś nastepnie prowadzimy do 1 i przechodzimy pod oś dalej prowadzimy w kierunku \(\displaystyle{ - \sqrt{2}}\) gdzie przechodzimu znowu nad oś. Teraz sprawdzamy w jakich przedziałach "wąż" jest nad osią.
jest on faktycznie wtych przedziałach wskazanych w książce ale zapis powinien być troszeczkę inny.
\(\displaystyle{ x \in (- \infty , - \sqrt{2}> \cup <1, \sqrt{2} >}\)
\(\displaystyle{ (-x+1)(x- \sqrt{2})(x+ \sqrt{2} ) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ -x+1=0 \Rightarrow x=1}\)
\(\displaystyle{ x- \sqrt{2}=0 \Rightarrow x= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x+ \sqrt{2} =0 \Rightarrow x=- \sqrt{2}}\)
mamy miejcsa zerowe, więc teraz rysujemy "węża" zaczynając od prawej strony z pod osi przeprowadzamy przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) przechodzimy nad oś nastepnie prowadzimy do 1 i przechodzimy pod oś dalej prowadzimy w kierunku \(\displaystyle{ - \sqrt{2}}\) gdzie przechodzimu znowu nad oś. Teraz sprawdzamy w jakich przedziałach "wąż" jest nad osią.
jest on faktycznie wtych przedziałach wskazanych w książce ale zapis powinien być troszeczkę inny.
\(\displaystyle{ x \in (- \infty , - \sqrt{2}> \cup <1, \sqrt{2} >}\)
Nierówność wielomianowa
mam do rozwiązania takie nierówności:
\(\displaystyle{ x^{2}}\) + 3 - \(\displaystyle{ x^{2}}\) + 4 < \(\displaystyle{ 8x^{3}}\) - 9
|\(\displaystyle{ x^{3}}\) - \(\displaystyle{ 3x^{2}}\) + 3x - 1| = \(\displaystyle{ x^{2}}\) - 2x + 1
oraz takie zadanie:
Dla jakiej wartości m, wielomian W(x)= \(\displaystyle{ x^{3}}\) - \(\displaystyle{ 9x^{2}}\) + mx - 15 jest podzielny przez dwumian (x-3). Dla wyznaczonej wartości m, wykonaj dzielenie (x-5)
\(\displaystyle{ x^{2}}\) + 3 - \(\displaystyle{ x^{2}}\) + 4 < \(\displaystyle{ 8x^{3}}\) - 9
|\(\displaystyle{ x^{3}}\) - \(\displaystyle{ 3x^{2}}\) + 3x - 1| = \(\displaystyle{ x^{2}}\) - 2x + 1
oraz takie zadanie:
Dla jakiej wartości m, wielomian W(x)= \(\displaystyle{ x^{3}}\) - \(\displaystyle{ 9x^{2}}\) + mx - 15 jest podzielny przez dwumian (x-3). Dla wyznaczonej wartości m, wykonaj dzielenie (x-5)
-
G.BEST7
- Użytkownik
- Posty: 112
- Rejestracja: 17 lis 2009, o 21:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 10 razy
Nierówność wielomianowa
W pierwszym upraszczasz wielomian poprzez wykonanie działań na wyrazach podobnych, potem rozkładasz na postać iloczynową.
W drugim rozwiązujesz wielomian, który jest w module dla \(\displaystyle{ || \ge 0 \wedge ||<0}\)
wychodzą przedziały dla których wartość modułu jest mniejsza od zera i dla których jest większa bądź też równa. Dla tych dwóch przedziałów rozwiązujesz tą nierówność jeżeli \(\displaystyle{ || \ge 0}\) to nie zmieniasz znaków przy współczynnikach w module, jak \(\displaystyle{ ||<0}\) to - przed nawias, a w nawiasie to co w module, zmieniasz znaki rozwiązujesz cała nierówność uwzględniając oczywiście to co jest po prawej stronie. Po rozwiązaniu dwóch nierówności sprawdzasz czy wszystko pokrywa się z przedziałami, które ustaliłaś. Bierzesz pod uwagę tylko te wartości, które się pokrywają z przedziałami.
Podstawiasz pod \(\displaystyle{ x}\) trójkę, albo dzielisz Hornerem przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\), po wykonaniu jednej z tych dwóch czynności zostaje \(\displaystyle{ 3m-69}\), kiedy \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez jakiś dwumian, kiedy \(\displaystyle{ R(x)=0}\), więc przyrównujesz to do zera.
\(\displaystyle{ 3m-69=0}\)
\(\displaystyle{ 3m=69}\)
\(\displaystyle{ m=23}\)
Teraz pod m w tym wielomianie podstawiasz 23 i dzielisz przez dwumian \(\displaystyle{ x-5}\)
Pewnie liczyłaś na gotowca, ale jak rozwiążesz sama to na pewno wyjdziesz na plus .
W drugim rozwiązujesz wielomian, który jest w module dla \(\displaystyle{ || \ge 0 \wedge ||<0}\)
wychodzą przedziały dla których wartość modułu jest mniejsza od zera i dla których jest większa bądź też równa. Dla tych dwóch przedziałów rozwiązujesz tą nierówność jeżeli \(\displaystyle{ || \ge 0}\) to nie zmieniasz znaków przy współczynnikach w module, jak \(\displaystyle{ ||<0}\) to - przed nawias, a w nawiasie to co w module, zmieniasz znaki rozwiązujesz cała nierówność uwzględniając oczywiście to co jest po prawej stronie. Po rozwiązaniu dwóch nierówności sprawdzasz czy wszystko pokrywa się z przedziałami, które ustaliłaś. Bierzesz pod uwagę tylko te wartości, które się pokrywają z przedziałami.
Podstawiasz pod \(\displaystyle{ x}\) trójkę, albo dzielisz Hornerem przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\), po wykonaniu jednej z tych dwóch czynności zostaje \(\displaystyle{ 3m-69}\), kiedy \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez jakiś dwumian, kiedy \(\displaystyle{ R(x)=0}\), więc przyrównujesz to do zera.
\(\displaystyle{ 3m-69=0}\)
\(\displaystyle{ 3m=69}\)
\(\displaystyle{ m=23}\)
Teraz pod m w tym wielomianie podstawiasz 23 i dzielisz przez dwumian \(\displaystyle{ x-5}\)
Pewnie liczyłaś na gotowca, ale jak rozwiążesz sama to na pewno wyjdziesz na plus .
Nierówność wielomianowa
generalnie to zrobiłam te zadania, jedynie mam problem z tym gdzie jest wartość bezwzględna.
-
G.BEST7
- Użytkownik
- Posty: 112
- Rejestracja: 17 lis 2009, o 21:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 10 razy
Nierówność wielomianowa
Rozwiąż to co jest w module \(\displaystyle{ x^{3}-3x^{2}+3x-1 \ge 0 \wedge x^{3}-3x^{2}+3x-1<0}\)
Po rozwiązaniu otrzymasz dwa przedziały z pierwszego \(\displaystyle{ x \in <1, +\infty )}\) , a z drugiego \(\displaystyle{ x \in (- \infty,1>}\)
Dla pierwszego przedziału wartość modułu jest dodatnia, więc znaki w module się nie zmieniają, dla tego drugiego przedziału wyrażenie w module bierzesz w nawias i przed nawiasem dajesz minus.
Masz dwa równania, które należy rozwiązać i zweryfikować ich rozwiązania, czy zawierają się one w przedziałach.
\(\displaystyle{ x^{3}-3x^{2}+3x-1= x^{2}-2x+1}\) dla \(\displaystyle{ x \in <1, +\infty )}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-4x^{2}+5x-2=0}\) np. szukasz wśród dzielników wyrazu wolnego pierwiastka tego wielomianu, tu takim pierwiastkiem jest liczba 1, więc możesz Schematem Hornera podzielić ten wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) po podzieleniu otrzymujesz
\(\displaystyle{ x^{2}-3x+2=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{delta}=1}\)
\(\displaystyle{ x1=1}\)
\(\displaystyle{ x2=2}\)
\(\displaystyle{ x1 i x2}\)zawierają się w przedziale, więc to jest rozwiązanie pierwszego równania, drugie jest Twoje .
Po rozwiązaniu otrzymasz dwa przedziały z pierwszego \(\displaystyle{ x \in <1, +\infty )}\) , a z drugiego \(\displaystyle{ x \in (- \infty,1>}\)
Dla pierwszego przedziału wartość modułu jest dodatnia, więc znaki w module się nie zmieniają, dla tego drugiego przedziału wyrażenie w module bierzesz w nawias i przed nawiasem dajesz minus.
Masz dwa równania, które należy rozwiązać i zweryfikować ich rozwiązania, czy zawierają się one w przedziałach.
\(\displaystyle{ x^{3}-3x^{2}+3x-1= x^{2}-2x+1}\) dla \(\displaystyle{ x \in <1, +\infty )}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-4x^{2}+5x-2=0}\) np. szukasz wśród dzielników wyrazu wolnego pierwiastka tego wielomianu, tu takim pierwiastkiem jest liczba 1, więc możesz Schematem Hornera podzielić ten wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) po podzieleniu otrzymujesz
\(\displaystyle{ x^{2}-3x+2=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{delta}=1}\)
\(\displaystyle{ x1=1}\)
\(\displaystyle{ x2=2}\)
\(\displaystyle{ x1 i x2}\)zawierają się w przedziale, więc to jest rozwiązanie pierwszego równania, drugie jest Twoje .