Twierdzenie Bezouta

[Matka Chrzestna]

cześć

mam problem z takim zadankiem
proszę o wytłumaczenie jak je rozwiązać

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez

x^2-9, jeżeli -3 jest pierwiastkiem wielomianu W, a reszta z dzielenia przez x-3 wynosi 2.

hmm... no na prawdę nie wiem jak to zrobić...

w odpowiedziach podali ... 1/3x+1

dzięki za wyjaśnienia
pozdrawiam
Matka Chrzestna

[Mapedd]

po pierwsze napisz wszytko w tex, a po drugie to przykukaj że \(\displaystyle{ x^2-9=(x-3)(x+3)}\) a potem przeczytaj kilka razy tw bezouta

[Grzegorz Getka]

\(\displaystyle{ \Large W(-3)=0}\)

\(\displaystyle{ \Large W(x)=Q(x)(x-3)+2}\)

\(\displaystyle{ \Large 0=Q(x)(-6)+2}\)

z tego:

\(\displaystyle{ \Large Q(x)=\frac{1}{3}}\)

Zatem wielomian W(x) ma postać:

\(\displaystyle{ \Large W(x)= \frac{x-3}{3}+2=\frac{x+3}{3}}\)

Jak się nie pomyliłem, to powinno być dobrze, wiesz jak dokończyć ?

[Matka Chrzestna]

dzięki Grzesiu

w nagrodę proszę punkcik dla Ciebie

[Olo]

no niezbyt to dobrze rozwiązane, Pan Grzesiu rozpatrzył jakiś jeden przypadek, to nie jest dowód, który uznają w liceum czy na maturze. Powinno być tak:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^{2}-9)+ax+b}\)
Bo wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu daje resztę co najwyżej o jeden niższgo stopnia. Resztą jest ax +b, po podstawieniu x=3 i x=-3 otrzymujemy dwa równania z których wyznaczamy a,b, czyli mamy R(x)=ax+b

[Matka Chrzestna]

mam jeszcze jedno zadanko...

Nie wykonując dzielenia, znajdź resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ u}\)
\(\displaystyle{ w(x)=x^5-x^3+x^2-1, u(x)=(x-1)(x+1)(x+2)}\)

dziękuję za pomoc
pozdrawiam
Matka Chrzestna

[Grzegorz Getka]

W(1)=0
W(-1)=0
W(-2)=21

Reszta R(x) jaką otrzymamy w wyniku dzielenia przez wielomian stopnia trzeciego, może być co najwyżej stopnia drugiego, więc jej ogólna postać wygląda tak:

\(\displaystyle{ \Large R(x)=ax^{2}+bx+c}\).

0=a+b+c
0=a-b+c
22=4a-2b+c

Ja zapisałbym macierz, ale Ty pewnie jeszcze nie znasz macierzy, więc możesz rozwiązać normalnie i dostajesz:

a=7
b=0
c=-7

\(\displaystyle{ \Large R(x)=9x^{2}-9}\)

[Matka Chrzestna]

ok dzieki, zrobiłam tak jak napisałeś

ale
\(\displaystyle{ W(-2)=-21}\) chyba

wyszło
a=-7
b=0
c=7

a wiec bardzo podobnie

faktycznie macierzy jeszcze nie znam i nie wiem co to jest, ale chętnie się dowiem

[Grzegorz Getka]

Oj przepraszam, oczwiście W(-2)=21, a nie 27. Macierz to najszybszy sposób rozwiązywania układów równań. Np. gdy masz układ 4 równań, to metodami tradycyjnymi można rozwiązać, ale zajmuje to dużo czasu, zapisując macierz jest szybciej.

Macierz dla tego układu wygląda tak:

1 1 1 | 0
1 -1 1 | 0
4 2 1 | 22

Wiesz skąd te cyferki się wzięły ?

[wawrys93]

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^{2}-9)+ax+b}\)


Mam takie pytanie dlaczego reszta została napisan jako \(\displaystyle{ ax+b}\) xD



ok bo ma byc mniejsza o 1 stopien niz dzielnik?

a dlaczego potem podstawiamy \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 3}\)