Nierówność z parametrem

[Adasiek]

Witam, mam takie zadanie:

Dla jakiego k każdy \(\displaystyle{ x\in R}\) spełnia nierówność:
\(\displaystyle{ x ^{4}+(2-k)x ^{2}+1>0}\) ?

Wyszło mi że k<2, ale gdy podstawię k=3 nierówność też jest spełniona...

Z góry dzięki za pomoc, pozdrawiam

[rodzyn7773]

\(\displaystyle{ \Delta <0\\4+k^2-4k-4<0\\k(k-4)<0\\k \in (0,4)}\)

[Adasiek]

no tak, ale dla każdej liczby ujemnej też będzie spełnione, więc Twoje rozwiązanie też chyba nie jest dobre... tak mi się wydaje

dlaczego delta < 0 ?

[rodzyn7773]

współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) jest dodatni zatem ramiona paraboli są skierowane do góry. Aby każda liczba rzeczywista spełniała nierówność to parabola musi leżeć całkowicie nad osią OX czyli nie może mieć miejsc zerowych czyli \(\displaystyle{ \Delta<0}\)

[Adasiek]

Ok, rozumiem skąd się wziął przedział \(\displaystyle{ \left( 0,4\right)}\) ...
Ale przecież na chłopski rozum, pasuje tam też każda liczba ujemna bo np. \(\displaystyle{ x^{4}+(2--4)x^{2}+1>0}\) dla k=-4 będzie: \(\displaystyle{ x^{4}+(2+4)x^{2}+1>0}\)

[rodzyn7773]

przepraszam mój błąd to równanie jest dwukwadratowe a nie kwadratowe tak jak to ja sądziłem

masz rację w swoim rozumowaniu