pierwiastki wielomianu

dżi-unit · Post autor: **dżi-unit** » 3 lis 2009, o 18:39

dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = 2x^{3 }+ x + 1}\).
a) Uzasadnij że wielomian nie ma dodatnich pierwiastków
b) Uzasadnij że wielomian nie ma pierwiastków wymiernych

Justka · Post autor: **Justka** » 3 lis 2009, o 19:04

Wykorzystaj twierdzenie o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.

dżi-unit · Post autor: **dżi-unit** » 7 lis 2009, o 13:21

nie za bardzo rozumiem jak mam wykorzystać to twierdzenie. w 1 podpunkcie mogą byc zarówno pierwiastki wymierne jak i niewymierne.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 7 lis 2009, o 13:26

a) Dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy \(\displaystyle{ W(x)>2\cdot 0^3+0+1=1>0}\), zatem wielomian \(\displaystyle{ W}\) nie ma pierwiastków dodatnich.

dżi-unit · Post autor: **dżi-unit** » 7 lis 2009, o 13:35

dzieki, ale jest jeszcze trzeci podpunkt, którego nie potrafie zrobić
c) t w i e r d z e n i e każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

korzystając z podanego twierdzenia uzasadnij, ze wielomian W(x) ma co najmniej jeden pierwiastek

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 7 lis 2009, o 13:52

Na mocy danego twierdzenia wielomian W można rozłożyć na iloczyn dwóch wielomianów, z których jeden jest stopnia co najwyżej drugiego. Drugi z nich musi być stopnia pierwszego, niezależnie od tego, czy pierwszy był wielomianem rozkładalnym czy też nie. Zatem ten drugi z wielomianów posiada, jako wielomian stopnia pierwszego, pierwiastek, który jest też pierwiastkiem wielomianu W.

dżi-unit · Post autor: **dżi-unit** » 7 lis 2009, o 15:15

Może macie pomysł jak rozlożyć ten wielomian \(\displaystyle{ W(x) = 2x^{3 }+ x + 1}\) na iloczyn?