W(10) dla wielomianu piątego stopnia

Nex Vaclav Friedrich · Post autor: **Nex Vaclav Friedrich** » 2 lis 2009, o 21:04

Wielomian W ma postać \(\displaystyle{ W _{(x)}=x ^{5}+a _{4}x ^{4}+a _{3}x ^{3}+a _{2}x ^{2}+a _{1}x}\), gdzie a1, a2, a3, a4 są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Wiedząc dodatkowo, że W(2)=2, W(4)=4, W(6)=6, W(8)=8 oblicz W(10) (bez wyznaczania współczynników a1,a2,a3,a4 )

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 2 lis 2009, o 21:10

wsk \(\displaystyle{ W(x)-x =x(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)}\)

piotrek9299 · Post autor: **piotrek9299** » 4 lis 2009, o 16:17

Mógłbym prosić o wyjaśnienie, dlaczego tak jest? Że dla każdego x bedzie taka równość, jaką podał mol_ksiazkowy, zachodziła?
Prosiłbym o wytłumaczenie skąd to sie bierze.

z góry dziękuję.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 4 lis 2009, o 19:42

Chodzi o to, że \(\displaystyle{ W(x)-x}\) jest wielomianem stopnia 5, i ma 5 pierwiatków: 0,2,4,6,8
stad wiec wynika jego postac. tj
\(\displaystyle{ W(x)-x=a(x-0)(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)}\)
i oczywioscie \(\displaystyle{ a=1}\)

matthiaskr · Post autor: **matthiaskr** » 8 mar 2010, o 20:48

Mam jedno zastrzeżenie, przecież jak podstawimy pod x jakikolwiek argument, który został podany w zadaniu to wartośc tego wielomianu będzie równa 0.

xanowron · Post autor: **xanowron** » 9 mar 2010, o 17:09

mol_ksiazkowy pisze:Chodzi o to, że \(\displaystyle{ W(x)-x}\) jest wielomianem stopnia 5, i ma 5 pierwiatków: 0,2,4,6,8
stad wiec wynika jego postac. tj
\(\displaystyle{ W(x)-x=a(x-0)(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)}\)
i oczywioscie \(\displaystyle{ a=1}\)

Jak podstawisz np. \(\displaystyle{ x=2}\) to masz:

\(\displaystyle{ W(2)-2=a(2-0)(2-2)(2-4)(2-6)(2-8)}\)
\(\displaystyle{ W(2)-2=0}\)
\(\displaystyle{ W(2)=2}\)

adamex · Post autor: **adamex** » 15 kwie 2010, o 19:24

mógłby ktoś napisać jak dojść do tego rozwiązania?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 16 kwie 2010, o 18:39

Robiłem tak :
158922.htm

Mala-Mi · Post autor: **Mala-Mi** » 20 mar 2011, o 17:37

Hm... zainteresowało mnie te zadanie. Czy ktoś może szczegółowo wyjaśnić skąd to się wzięło:

\(\displaystyle{ W(x)-x=a(x-0)(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)}\)

Wiem, że wielu już tłumaczyło, ale trudno jest mi to zrozumieć. Jasne, że dla mnie, iż wielomian W(x) ma 5 pierwiastków: 0, 2, 4, 6 i 8. Ale w zupełności nie wiem skąd bierze się \(\displaystyle{ W(x) - x}\). Proszę o pomoc, będę wdzięczna

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 mar 2011, o 21:07

A sposób pod linkiem ?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 20 mar 2011, o 23:43

piasek101, na moje oko to w tym przypadku można użyć twojego rozumowania
jednak w przypadku bardziej ogólnym (tzn gdybyśmy pozmieniali wartości \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) )
to brakuje jeszcze jednego punktu żeby można użyć interpolacji np Lagrange
(Brakuje jednego węzła interpolacyjnego bo punkt (0,0) jest oczywisty a musimy tych
węzłów interpolacyjnych mieć sześć)

xanowron · Post autor: **xanowron** » 22 mar 2011, o 09:15

mariuszm pisze:piasek101, na moje oko to w tym przypadku można użyć twojego rozumowania
jednak w przypadku bardziej ogólnym (tzn gdybyśmy pozmieniali wartości \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) )
to brakuje jeszcze jednego punktu żeby można użyć interpolacji np Lagrange
(Brakuje jednego węzła interpolacyjnego bo punkt (0,0) jest oczywisty a musimy tych
węzłów interpolacyjnych mieć sześć)

To jest zadanie maturalne.

smiechowy · Post autor: **smiechowy** » 22 kwie 2012, o 21:19

mol_ksiazkowy pisze:Chodzi o to, że \(\displaystyle{ W(x)-x}\) jest wielomianem stopnia 5, i ma 5 pierwiatków: 0,2,4,6,8
stad wiec wynika jego postac. tj
\(\displaystyle{ W(x)-x=a(x-0)(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)}\)
i oczywioscie \(\displaystyle{ a=1}\)

sory, że odkopuje stary temat ale, skąd wiemy że \(\displaystyle{ a=1}\)?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 22 kwie 2012, o 21:22

Nex Vaclav Friedrich pisze:Wielomian W ma postać \(\displaystyle{ W _{(x)}=\red 1\black x ^{5}+a _{4}x ^{4}+a _{3}x ^{3}+a _{2}x ^{2}+a _{1}x}\),