Działania w zbiorze wielomianów

[Patrycja159]

Wielomian \(\displaystyle{ x^{4}+9}\) można zapisać w postaci iloczynowej w następujący sposób: \(\displaystyle{ x^{4}+9=x^{4}+6x^{2}+9-6x^{2}=\left( x^{2}+3 \right)^{2}-6x^{2}=(x^{2}-\sqrt{6}x+3)(x^{2}+\sqrt{6}x+3)}\)
Postępując analogicznie, zapisz w postaci iloczynowej wielomian \(\displaystyle{ x^{4}+16}\). Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć co jak zostało to przekształcone, bo nie do końca rozumiem i rozwiązując zadania wyszło mi źle.

[Lorek]

To się nazywa dopełnianie do kwadratu czy jakoś tak. \(\displaystyle{ x^4+16}\) występuje zarówno we wzorze \(\displaystyle{ (x^2+4)^2}\) jak i we wzorze \(\displaystyle{ (x^2-4)^2}\). Gdyby wziąć ten drugi wzór to z niego mamy \(\displaystyle{ x^4+16=(x^2-4)^2+8x^2}\) - i znów suma kwadratów czyli nic ciekawego. A jak weźmiemy pierwszy, to \(\displaystyle{ x^4+16=(x^2+4)^2-8x^2=(x^2+4)^2-(\sqrt{8}x)^2}\), czyli różnica kwadratów i można to dalej rozłożyć.

[Patrycja159]

i wówczas wyjdzie (\(\displaystyle{ x^{2}}\)-\(\displaystyle{ \sqrt{8}}\)x+4)(\(\displaystyle{ x^{2}}\)+\(\displaystyle{ \sqrt{8}}\)x+4) czy (\(\displaystyle{ x^{2}}\)-\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)x+4)(\(\displaystyle{ x^{2}}\)+\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)x+4)?? Bo mi wychodzi to pierwsze.

[Lorek]

No i wychodzi to 1., ewentualnie \(\displaystyle{ \sqrt{8}=2\sqrt{2}}\), a i popraw zapis bo średnio czytelny

[Patrycja159]

wielkie dzięki za pomoc:)