Układ równań z parametrem

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ r>0}\) będzie ustaloną liczbą. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\) układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2+y^2=r^2 \\
x^3+y^3=3axy
\end{cases}}\)

ma dokładnie jedno rozwiązanie w liczbach dodatnich \(\displaystyle{ x,y}\)?

Ten problem, jak nietrudno się domyśleć, ma podłoże geometryczne. Szukam tej wartości \(\displaystyle{ a}\), by w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych istniał dokładnie jeden punkt wspólny łuku okręgu z fragmentem liścia Kartezjusza.

Mnie próba rozwiązania układu metodą podstawiania nie doprowadziła do żadnego rozsądnego wyniku.

Może uda się komuś wyznaczyć choć jedną wartość parametru \(\displaystyle{ a}\) o żądanej własności i ewentualnie znaleźć także rozwiązanie - parę \(\displaystyle{ (x,y)}\) dla tej wartości \(\displaystyle{ a}\).

Z góry dziękuję za każdą pomoc.

[Emiel Regis]

Liść Kartezjusza można sparametryzować:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=\frac{3at}{1+t^3} \\
y=\frac{3at^2}{1+t^3}
\end{cases}}\)

Czyli nasz układ przybiera postać:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=\frac{3at}{1+t^3} \\
y=\frac{3at^2}{1+t^3}\\
x^2+y^2=r^2
\end{cases}}\)

Wstawiając x oraz y otrzymujemy niestety równanie wielomianowe szóstego stopnia, które jak podaje Maple nie bardzo ma jakieś ładne pierwiastki:

\(\displaystyle{ \frac{(3at)^2}{(1+t^3)^2}+\frac{(3at)^2 \cdot t^2}{(1+t^3)^2} = r^2}\)

\(\displaystyle{ -r^2t^6 + 3at^4 - 2r^2 t^3 + 3at^2-r^2 = 0}\)

Także nie wiem czy inaczej niż numerycznie da się ładnie znaleźć szukane przez Ciebie punkty wspólne.


O ile się nigdzie nie pomyliłem to przybliżone rozwiązanie dla a=r=1 jest następujące:

Kod: Zaznacz cały

t := .3279070641
x := .9502187916
y := .3115834542

[lukasz1804]

Dzięki, Emiel Regis, za pomoc. Utwierdziłeś mnie, że analityczne podejście do tego zagadnienia jest niemal nierozwiązalne. A to rozwiązanie przybliżone w pewnym stopniu też mnie zadowala.