Równania wielomianowe.
-
vizard
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 11 sty 2009, o 11:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 1 raz
Równania wielomianowe.
Jak rozwiązać coś takiego \(\displaystyle{ \left(x-1 \right)^{3}+ \left( 2x+3\right) ^{3}=27 x^{3}+8}\) i coś takiego \(\displaystyle{ x ^{3}+12x ^{2}+44x+48=0}\)
-
xanowron
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Równania wielomianowe.
W pierwszym podnieś nawiasy do trzeciej potęgi i na jedną stronę, wyłączy się \(\displaystyle{ x}\) przed nawias i zostanie równanie kwadratowe.
W drugim zauważ, że jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ -2}\)
W drugim zauważ, że jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ -2}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równania wielomianowe.
Rozwiązywanie równań wielomianowych trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ a_{3}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}=0}\)
Zastosujmy podstawienie \(\displaystyle{ y=z+ \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
aby wyeliminować wyraz \(\displaystyle{ a_{2}z^{2}}\)
Po podstawieniu dostaniemy
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
Zastosujmy podstawienie \(\displaystyle{ u+v=t}\)
aby otrzymać wzory Viete'a równania kwadratowego
Po podstawieniu dostaniemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=- \frac{p^3}{27} \end{cases}}\)
Powyższy układ równań to wzory Viete'a równania kwadratowego
(zwanego równaniem rozwiązującym)
\(\displaystyle{ t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0}\)
Pierwiastki trzeciego stopnia z pierwiastków powyższego równania dobieramy
tak aby \(\displaystyle{ uv=- \frac{p}{3}}\)
\(\displaystyle{ u= \sqrt[3]{t_{1}}}\)
\(\displaystyle{ v= \sqrt[3]{t_{2}}}\)
\(\displaystyle{ y_{1}= u+v}\)
\(\displaystyle{ y_{2}=\varepsilon_{1}u+ \varepsilon_{2}v}\)
\(\displaystyle{ y_{3}=\varepsilon_{2}u+ \varepsilon_{1}v}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_{k}=e^{ \frac{2ik\pi}{3} }}\)
czyli pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki
Na marginesie dodam że w podobny sposób można rozwiązać równanie
czwartego stopnia
\(\displaystyle{ a_{3}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}=0}\)
Zastosujmy podstawienie \(\displaystyle{ y=z+ \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
aby wyeliminować wyraz \(\displaystyle{ a_{2}z^{2}}\)
Po podstawieniu dostaniemy
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
Zastosujmy podstawienie \(\displaystyle{ u+v=t}\)
aby otrzymać wzory Viete'a równania kwadratowego
Po podstawieniu dostaniemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=- \frac{p^3}{27} \end{cases}}\)
Powyższy układ równań to wzory Viete'a równania kwadratowego
(zwanego równaniem rozwiązującym)
\(\displaystyle{ t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0}\)
Pierwiastki trzeciego stopnia z pierwiastków powyższego równania dobieramy
tak aby \(\displaystyle{ uv=- \frac{p}{3}}\)
\(\displaystyle{ u= \sqrt[3]{t_{1}}}\)
\(\displaystyle{ v= \sqrt[3]{t_{2}}}\)
\(\displaystyle{ y_{1}= u+v}\)
\(\displaystyle{ y_{2}=\varepsilon_{1}u+ \varepsilon_{2}v}\)
\(\displaystyle{ y_{3}=\varepsilon_{2}u+ \varepsilon_{1}v}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_{k}=e^{ \frac{2ik\pi}{3} }}\)
czyli pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki
Na marginesie dodam że w podobny sposób można rozwiązać równanie
czwartego stopnia