Pierwiastki wielomianu i ich krotność

JoyMusic · Post autor: **JoyMusic** » 27 paź 2009, o 19:59

Podaj pierwiastki wielomianu w oraz określ krotność każdego z nich:

\(\displaystyle{ a) \ w(x)=(x-4) ^{3} (x ^{2} -16)}\)
\(\displaystyle{ b) \ w(x)=7x(x-2)(5x+3)(x ^{2}-4) ^{2}}\)

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

A jeszcze mam problem z takim zadaniem:
Dla wielomianu w podano jego pierwiastki całkowite wraz z krotnością każdego z nich. Czy wielomian ten może mieć jeszcze inne pierwiastki ?
\(\displaystyle{ w(x)=2x ^{3} -x ^{2} -13x-6}\) pierwiastki jednokrotne: -2, 3

wilk · Post autor: **wilk** » 27 paź 2009, o 20:02

moim zdaniem
a) 4
b) 0; 2; -0.6;
nie wiem co to jest krotność i chętnie się dowiem jak ktoś jeszcze odpisze...

barakuda · Post autor: **barakuda** » 27 paź 2009, o 20:09

\(\displaystyle{ (x-4)^3(x^2-16) = (x-4)^3(x-4)(x+4) = (x-4)^4(x+4)}\)

\(\displaystyle{ x-4=0 \Rightarrow x=4}\) - czterokrotny
\(\displaystyle{ x+4=0 \Rightarrow x=-4}\) - jednokrotny

\(\displaystyle{ 7x(x-2)(5x+3)(x^2-4)^2 = 7x(x-2)(5x+3)((x-2)(x+2))^2 = 7x(x-2)^3(5x+3)(x+2)^2}\)

\(\displaystyle{ 7x=0 \Rightarrow x=0}\) - jednokrotny
\(\displaystyle{ x-2=0 \Rightarrow x=2}\) - trzykrotny
\(\displaystyle{ 5x+3=0 \Rightarrow x=- \frac{3}{5}}\) -jednokrotny
\(\displaystyle{ x+2=0 \Rightarrow x=-2}\) - dwukrotny

JoyMusic · Post autor: **JoyMusic** » 27 paź 2009, o 20:12

Mega wielkie dzięki !

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 paź 2009, o 12:04

Ostatnie - skoro wielomian trzeciego stopnia (a dotyczy to każdego, nie tylko tego z zadania) ma dwa jednokrotne pierwiastki to ma też trzeci jednokrotny.

\(\displaystyle{ W(x)=2(x+2)(x-3)(x+p)}\) (przy czym (p) nie jest żadnym z podanych pierwiastków)