Przedstawienie wielomianu w postaci iloczynu

[59fifty]

Dany wielomian
\(\displaystyle{ x^4 + 8x^3 + 19x^2 + 14x + 3}\)
przedstawić w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia II o współczynnikach całkowitych dodatnich.

[matshadow]

Stary, sprawa wygląda tak:
a,b,c,d,e,f - współczynniki szukane
\(\displaystyle{ (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)=x^4 + 8x^3 + 19x^2 + 14x + 3}\)
Po wymnożeniu i pogrupowaniu masz
\(\displaystyle{ adx^2+(ae+bd)x^3+(af+be+cd)x^2+(bf+ce)x+cf=x^4 + 8x^3 + 19x^2 + 14x + 3}\)
Żeby te dwie strony były sobie równe, to
\(\displaystyle{ \begin{cases} ad=1\\ae+bd=8\\af+be+cd=19\\bf+ce=14\\cf=3\end{cases}}\)
I tutaj sprawa się lekko komplikuje, bo o ile wywnioskujesz na podstawie założeń, że \(\displaystyle{ a=d=1}\)
to o tyle potem musisz szukać takich liczb, żeby spełniły resztę układu równań. Napisałem sobie programik na to, i wyszło że wyjściowe współczynniki wynoszą:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1\\b=5\\c=3\\d=1\\e=3\\f=1\end{cases}}\)

[59fifty]

A czy istnieje jeszcze jakiś inny, nieco prostszy sposób rozwiązania?

[matshadow]

Szczerze wątpię, bo pierwiastki tego wielomianu wyjściowego nie wyglądają zachęcająco To zadanie nie jest trudne, tylko czasochłonne. Więc radzę już siąść i przekształcać te równania tak, żeby wyliczać po kolei współczynniki