3 zadania na dowodzenie

[czorcica]

1. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej x wartośc wielomianu W(x)=x^5 - 5x�+4x jest liczbą pdzielną przez 120

2. Uzasadnij, że równanie x(x+1)(x+2)=2006� nie ma pierwiastków całkowitych

3. Udowodnij, że jeżeli wielomian W(x)=x� +px+q ma trzy pierwiastki, to p jest liczbą ujemną

Jak się do tego zabrać?

[piwcuk]

1. \(\displaystyle{ x^{5}-5x^{3}+4x}\) można zapisać: \(\displaystyle{ (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}\) a to ze suma kolejnych 5 liczb naturalnych jest podzielna przez 120 to juz nietrudno sprawdzic


zreszta to zadanie juz chyba bylo robione na forum podobnie jak zad.3 (tak misie wydaje), tylko teraz nie widze gdzie, wiec proponuje poszukac

[czorcica]

Ale tu są dwa ujemne pierwiastki -1 i -2 to nie są liczby naturalne

[Dooh]

ale x ma byc naturalne. nie ma zalozenia co do wartosci pierwiastkow.

[Tristan]

Tutaj jest rozwiązanie zadania trzeciego. Co do zadania drugiego: zauważ, że jeśli x miało by być całkowite, to po lewej stronie równania masz trzy kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich jest podzielna przez 3. Ale liczba 2006 przez trzy podzielna nie jest, więc tym bardziej jej trzecia potęga nie jest, więc równanie to nie ma pierwiastków całkowitych.

[czorcica]

Dzieki Wszystko jasne