równanie wielomianowe z parametrami

[Black Druidess]

mam takie zadanko:

Dla jakich wartości a i b liczba 2 jest dwukrotnym rozwiązaniem równania
x� + 4x� + ax + b = 0.

Wielomian podzielony przez dwumian (x-m) jest równy wartości tego wilomianu dla m, wiec najpierw probowałam skorzystać z tego, ale wychodziły mi dwa takie same równania więc nie dało się z tym nic zrobić, chyba ze żle coś robiłam. Wieć podzieliłam ten wielomian prze dwumian (x-2) i wynikiem jest mi równanie x� + 2x + 12 +a i reszta równa jest 2a+b+24, a reszta ma byc równa zero, więc mamy pierwsze równanie. Następnie ro równanie znowu podzieliłam przez (x-2), co dało mi resztę a+28, a ta ma być równe zero. Te dwa równania dają nam układ równań, którego rozwiązaniem jest a=-28, b=32. Noi wyszło mi dobrze, bo w odpowedziach jest tak samo, tylko chciałam was zapytać, czy jest krótszy sposób? Czy da się to rozwiązać inaczej?

[Olo]

jest na to łatwa metoda, ale wymaga przytoczenie pewnego twierdzenia, mianowicie, jeśli W(x) ma n-krotny pierwiastek to W'(x) (pochodna) ma co najmniej n-1 krotny ten sam pierwiastek co W(x), pochodną z tego łatwo wyliczyć i od razu masz parametr "a", bo W'(2)=0, a teraz podstawiając to a, pod W(x) i wiedząc, że W(2)=0, wyliczasz b.

[Black Druidess]

No racja. Dzięki.