Wielomian będący trzecią potęgą pewnego dwumianu

[Black Druidess]

Mam takie zadanie:

Zbadaj, czy istnieje liczba rzeczywista a , dla której wielomian
W(x)=(4a+3)x � + 9ax � + 6ax + a +2
jest trzecią potęgą pewnego dwumianu.

No więc ja myślałam tak:

Jest dwumian podniesiony do potęgi trzeciej: (bx+c) �
Który daje nam wielomian równy wielomianowi W(x), więc należy porównać współczynniki tych wielomianów. Ułożyłam taki układ równań, ale wogóle nie mogę go rozwiązać. Czy to należy tak robić?
Proszę, pomóżcie...

[Tristan]

Sposób jest dobry. Mamy \(\displaystyle{ (bx+c)^3=b^3 x^3 +3b^2 c x^2+3bc^2 x +c^3}\). Czyli otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} 4a+3=b^3 \\ 9a=3b^2 c \\ 6a=3bc^2 \\ a+2=c^3 \end{array}}\)
Dzieląc drugie równanie przez 3, a trzecie przez 2 otrzymamy, że \(\displaystyle{ 3a=b^2 c}\) a zarazem \(\displaystyle{ 3a=\frac{3}{2} bc^2}\), czyli \(\displaystyle{ b^2 c= \frac{3}{2} bc^2}\), co dzielimy przez bc i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ c=\frac{2}{3} b}\). Teraz podstawimy dane c do ostatniego równania i otrzymamy, że \(\displaystyle{ a+2= \frac{8}{27}b^3}\). Czyli \(\displaystyle{ b^3=\frac{27}{8} (a+2)}\). Zarazem z pierwszego równania mamy \(\displaystyle{ b^3=4a+3}\), więc \(\displaystyle{ \frac{27}{8} (a+2)=4a+3}\), co po krótkich obliczeniach daje nam, że \(\displaystyle{ a=6}\). Z tego mamy, że \(\displaystyle{ b=3}\) i \(\displaystyle{ c=2}\). Czyli dla \(\displaystyle{ a=6}\) \(\displaystyle{ W(x)=27x^3+54x^2 +36x+8}\) jest trzecią potęgą dwumianu \(\displaystyle{ (3x+2)}\).

[Black Druidess]

Po raz kolejny dziękuję Tristanie. Ty to masz łeb