jak ugrysc cos takiego?
dla jakich wartosci parametru p wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3-3px+9p-27}\) ma trzy rozne pierwiastki rzeczywiste?
czy moze mi ktos pomoc.... bede bardzo wdzieczna
Pierwiastki wielomianu i parametr
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Pierwiastki wielomianu i parametr
Temat poprawiłem i zawartość posta również. Proszę, zapoznaj się z regulaminem, bo następnym razem nie będzie tak słodko.
\(\displaystyle{ W(x)=x^3 -3px+9p - 27}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^3 - 27 -3px+9p}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x^2+3x+9) -3p(x-3)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x^2+3x+9-3p)}\)
Czyli jednym z pierwiastków jest x=3. Rozważamy teraz wielomian\(\displaystyle{ P(x)=x^2+3x+9-3p}\). Musi on mieć dwa pierwiastki, czyli \(\displaystyle{ \Delta>0}\) i każdy z pierwiastków musi być różny od 3, czyli \(\displaystyle{ P(3) \neq 0}\). Mamy więc:
\(\displaystyle{ 9-4(9-3p)>0 \wedge 9+9+9-3p \neq 0}\)
\(\displaystyle{ 9-36+12p>0 \wedge 27-3p \neq 0}\)
\(\displaystyle{ 12p>27 \wedge 3p \neq 27}\)
\(\displaystyle{ p>2 \frac{1}{4} p 9}\)
Czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ p (2 \frac{1}{4};9) \cup (9; )}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^3 -3px+9p - 27}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^3 - 27 -3px+9p}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x^2+3x+9) -3p(x-3)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x^2+3x+9-3p)}\)
Czyli jednym z pierwiastków jest x=3. Rozważamy teraz wielomian\(\displaystyle{ P(x)=x^2+3x+9-3p}\). Musi on mieć dwa pierwiastki, czyli \(\displaystyle{ \Delta>0}\) i każdy z pierwiastków musi być różny od 3, czyli \(\displaystyle{ P(3) \neq 0}\). Mamy więc:
\(\displaystyle{ 9-4(9-3p)>0 \wedge 9+9+9-3p \neq 0}\)
\(\displaystyle{ 9-36+12p>0 \wedge 27-3p \neq 0}\)
\(\displaystyle{ 12p>27 \wedge 3p \neq 27}\)
\(\displaystyle{ p>2 \frac{1}{4} p 9}\)
Czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ p (2 \frac{1}{4};9) \cup (9; )}\)