Pierwiastki wielomianu

[asiaaadg]

Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-x^{2}+ax+b}\) są tylko dwie liczby: \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ -3}\).
a) oblicz a i b,
b) zapisz wielomian w postacie iloczynu czynników liniowych.

[binio]

a)
Współczynniki a i b możesz obliczyć z układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2^{3}-2^{2}+2a+b=0 \\ (-3)^{3}-(-3)^{2}-3a+b=0 \end{cases}}\)

[bankierka]

\(\displaystyle{ w(2)=0
w(-3)=0}\)
podstawiamy w miejsce x=2, y=0 i x--3 i y=0 otrzymujemy układ dwóch równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{3}-2 ^{2+2a+b=0} \\ (-3) ^{3} -(-3) ^{2} +(-3)a +b=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 8-4+2a+b=0} \\ -27-9 +(-3)a +b=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-4-2a} \\ -27-9 +(-3)a +(-4-2a)=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-4-2a} \\ -5a=40\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-8 \\ b=12 \end{cases}}\)