przekształcenie wielomianu (2 zadanie)

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Black Druidess
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 21 kwie 2006, o 12:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 10 razy

przekształcenie wielomianu (2 zadanie)

Post autor: Black Druidess »

Mam dla waś ciekawe zadanie . Próbowałam go rozwiązać, ale na marne Nic nie wymysliłam, przekształcałam bez końca i nic sensownego z tego nie wyszło. Treść zadania brzmi:

Wykaż, że jeśli p+q+r=0, to p � +q � +r � = 3pqr.
Ostatnio zmieniony 29 kwie 2006, o 11:00 przez Black Druidess, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

przekształcenie wielomianu (2 zadanie)

Post autor: Tristan »

Zał: \(\displaystyle{ p+q+r=0}\)
Teza: \(\displaystyle{ p^3 + q^3+ r^3=3pqr}\)
D-d:
\(\displaystyle{ L=p^3+q^3+r^3=(p^2+q^2+r^2)(p+q+r)-p^2q-p^2r-q^2p-q^2r-r^2p-r^2q= \\ =(p^2+q^2+r^2)(p+q+r)-pq(p+q+r)-qr(p+q+r)-pr(p+q+r)+3pqr= \\ = (p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-qr-pr)+3pqr=0 (p^2+q^2+r^2-pq-qr-pr) +3pqr=3pqr=P}\) cnd.
Awatar użytkownika
Black Druidess
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 21 kwie 2006, o 12:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 10 razy

przekształcenie wielomianu (2 zadanie)

Post autor: Black Druidess »

Aha, teraz juz rozumiem
Wielkie dzięki Tristan



Mam tu kolejne zadanie bardzo podobne, ale tego wielomiany znowu nie mogę przekształacić . Nic z tego nie rozumiem, siedzialam, patrzyłam, przekształacałam, ale nic nie wyszło .
Ten wielomian nalezy rozłożyć na czynniki:

y� (z-x) -x� (z-y) + z� (x-y)
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

przekształcenie wielomianu (2 zadanie)

Post autor: Tristan »

Najpierw wymnóżmy pierwszy i drugi nawias:
\(\displaystyle{ zy^3 -xy^3 -zx^3+x^3y +(x-y)z^3}\)
Teraz pogrupujmy pierwszy z trzecim i drugi z czwartym wyrazem, a z nawiasu wyciągnijmy minus otrzymując:
\(\displaystyle{ (y^3-x^3)z -(y^2-x^2)xy-(y-x)z^3}\)
Widać już pewnie wspólny czynnik (y-x), bo \(\displaystyle{ y^3-z^3=(y-x)(y^2+xy+x^2)}\) oraz \(\displaystyle{ y^2-x^2=(y-x)(y+x)}\).
Awatar użytkownika
Black Druidess
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 21 kwie 2006, o 12:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 10 razy

przekształcenie wielomianu (2 zadanie)

Post autor: Black Druidess »

Kurcze... Przydałby mi się taki Tristan pod choinkę... Nie miałabym już żadnego problemu z matematyką...

Wielkie Dzięki Tristan! You are the best!
ODPOWIEDZ